ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.61 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление потребуется наименьшее количество материала?

Пусть $a$ дм — сторона основания и $h$ дм — высота бака, тогда:
$V = a^2 \cdot h = 32, \text{ отсюда } h = \frac{32}{a^2};$
$S(h) = a^2 + 4ah = a^2 + \frac{4a \cdot 32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a};$

Производная функции:
$S'(h) = (a^2)’ + 128 \left( \frac{1}{a} \right)’ = 2a — \frac{128}{a^2};$

Промежуток возрастания:
$2a — \frac{128}{a^2} \geq 0;$
$2a^3 — 128 \geq 0;$
$a^3 — 64 \geq 0;$
$a^3 \geq 64, \text{ отсюда } a \geq 4;$

Точка минимума:
$a = 4 \text{ и } h = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2;$

Ответ: 4 дм; 2 дм.

Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 литра воды. Нужно найти размеры бака, при которых на его изготовление уйдет наименьшее количество материала.

Дано:

• Объем бака $V = 32$ литра.
• 1 литр = 1 дм³, следовательно, $V = 32$ дм³.
• Бак имеет квадратное основание, то есть сторона основания равна $a$ дм.
• Высота бака $h$ дм.

Нам нужно найти такие значения $a$ и $h$, при которых минимизируется площадь поверхности, используемая для изготовления бака.

1. Объем бака

Объем бака $V$ можно выразить через сторону основания $a$ и высоту $h$ как:

$$V = a^2 \cdot h$$

Поскольку объем бака задан и равен 32 литра (32 дм³), то:

$$a^2 \cdot h = 32$$

Отсюда можно выразить высоту $h$ через сторону основания $a$:

$$h = \frac{32}{a^2}$$

2. Площадь поверхности бака

Площадь поверхности открытого бака состоит из площади его основания и четырёх боковых сторон.

• Площадь основания (квадратное основание): $S_{\text{основания}} = a^2$.
• Площадь боковых стенок: каждая боковая стенка представляет собой прямоугольник с шириной $a$ и высотой $h$, то есть площадь одной боковой стенки равна $a \cdot h$. Всего таких боковых стенок 4, следовательно, общая площадь боковых стенок будет $4 \cdot a \cdot h$.

Таким образом, общая площадь поверхности $S$ бака выражается как:

$$S = a^2 + 4ah$$

Теперь подставим выражение для $h$, полученное ранее:

$$S = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2}$$

Упростим это выражение:

$$S = a^2 + \frac{128}{a}$$

Теперь мы имеем функцию площади поверхности $S$ через одну переменную $a$:

$$S(a) = a^2 + \frac{128}{a}$$

3. Поиск минимума площади

Для минимизации площади нужно найти значение $a$, при котором функция $S(a)$ достигает минимума. Для этого найдём первую производную $S'(a)$ и приравняем её к нулю.

3.1. Находим первую производную $S'(a)$

Для того чтобы найти производную, будем использовать стандартные правила дифференцирования:

$$S'(a) = \frac{d}{da} \left( a^2 + \frac{128}{a} \right)$$

Применяем правила дифференцирования:

$$S'(a) = 2a — \frac{128}{a^2}$$

3.2. Находим критические точки

Чтобы найти точки, где функция $S(a)$ может достигать минимума или максимума, приравняем производную к нулю:

$$S'(a) = 2a — \frac{128}{a^2} = 0$$

Решим это уравнение:

$$2a = \frac{128}{a^2}$$

Умножим обе стороны на $a^2$, чтобы избавиться от дроби:

$$2a^3 = 128$$

Разделим обе стороны на 2:

$$a^3 = 64$$

Теперь извлечём кубический корень из обеих сторон:

$$a = 4$$

3.3. Проверка минимума

Чтобы убедиться, что найденная точка $a = 4$ является минимумом, можно проверить знак второй производной $S»(a)$. Вторая производная для функции $S(a) = a^2 + \frac{128}{a}$ будет:

$$S»(a) = 2 + \frac{256}{a^3}$$

При $a = 4$:

$$S»(4) = 2 + \frac{256}{4^3} = 2 + \frac{256}{64} = 2 + 4 = 6$$

Так как $S»(4) > 0$, то функция $S(a)$ имеет минимум в точке $a = 4$.

4. Находим высоту $h$

Теперь, зная, что $a = 4$, можем найти высоту $h$ с помощью выражения:

$$h = \frac{32}{a^2}$$

Подставляем $a = 4$:

$$h = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$$

5. Ответ

Таким образом, для минимального использования материала на изготовление бака, сторона основания должна быть $a = 4$ дм, а высота $h = 2$ дм.

Ответ: $a = 4$ дм, $h = 2$ дм.