ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.62 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём 343 м³. При каких размерах на его изготовление потребуется наименьшее количество материала?

Пусть $a$ м — сторона основания и $h$ м — высота бака, тогда:
$V = a^2 \cdot h = 343, \text{ отсюда } h = \frac{343}{a^2};$
$S(h) = 2a^2 + 4ah = 2a^2 + \frac{4a \cdot 343}{a^2} = 2a^2 + \frac{1372}{a};$

Производная функции:
$S'(h) = 2(a^2)’ + 1372 \left( \frac{1}{a} \right)’ = 2 \cdot 2a — \frac{1372}{a^2} = 4a — \frac{1372}{a^2};$

Промежуток возрастания:
$4a — \frac{1372}{a^2} \geq 0;$
$4a^3 — 1372 \geq 0;$
$a^3 — 343 \geq 0;$
$a^3 \geq 343, \text{ отсюда } a \geq 7;$

Точка минимума:
$a = 7 \text{ и } h = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7;$

Ответ: 7 м; 7 м; 7 м.

Необходимо найти размеры закрытого металлического бака с квадратным основанием, объём которого должен быть 343 м³, при которых на его изготовление потребуется наименьшее количество материала.

Шаг 1. Введение переменных

Обозначим:

• $a$ — сторону квадратного основания (в метрах),
• $h$ — высоту бака (в метрах).

Так как бак имеет квадратное основание, его площадь основания равна $a^2$.

Шаг 2. Объем бака

Объем бака выражается через площадь основания и высоту:

$$V = a^2 \cdot h.$$

Из условия задачи известно, что объем бака должен быть равен 343 м³, то есть:

$$a^2 \cdot h = 343.$$

Теперь выразим высоту $h$ через сторону основания $a$:

$$h = \frac{343}{a^2}.$$

Шаг 3. Площадь поверхности

Необходимо найти минимальную площадь поверхности бака, так как количество материала пропорционально площади поверхности. Площадь поверхности $S$ бака состоит из:

• двух квадратных оснований (верхнее и нижнее), каждая из которых имеет площадь $a^2$,
• четырех прямоугольных боковых стенок, каждая из которых имеет площадь $a \cdot h$.

Таким образом, общая площадь поверхности бака:

$$S(a, h) = 2a^2 + 4ah.$$

Теперь подставим выражение для $h$ из предыдущего шага:

$$S(a) = 2a^2 + 4a \cdot \frac{343}{a^2}.$$

Упростим второе слагаемое:

$$S(a) = 2a^2 + \frac{1372}{a}.$$

Теперь у нас есть функция площади поверхности $S(a)$, зависящая только от $a$.

Шаг 4. Нахождение минимума площади

Для нахождения минимального значения площади $S(a)$ необходимо найти производную этой функции по $a$ и приравнять её к нулю, так как экстремумы функции (минимум или максимум) могут находиться в точках, где производная равна нулю.

Найдем производную $S'(a)$:

$$S'(a) = \frac{d}{da}\left( 2a^2 + \frac{1372}{a} \right).$$

Производная от $2a^2$ равна $4a$, а производная от $\frac{1372}{a}$ — это $-\frac{1372}{a^2}$. Таким образом, получаем:

$$S'(a) = 4a — \frac{1372}{a^2}.$$

Шаг 5. Нахождение критических точек

Приравняем производную $S'(a)$ к нулю, чтобы найти критические точки:

$$4a — \frac{1372}{a^2} = 0.$$

Преобразуем это уравнение:

$$4a = \frac{1372}{a^2}.$$

Умножим обе стороны на $a^2$:

$$4a^3 = 1372.$$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$$a^3 = \frac{1372}{4} = 343.$$

Возьмем кубический корень из обеих сторон:

$$a = \sqrt[3]{343} = 7.$$

Шаг 6. Нахождение высоты $h$

Теперь, когда мы нашли значение $a = 7$, можем найти высоту $h$ из выражения:

$$h = \frac{343}{a^2}.$$

Подставляем $a = 7$:

$$h = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7.$$

Шаг 7. Проверка минимальности

Теперь нужно убедиться, что найденное значение $a = 7$ соответствует минимуму. Для этого проверим знак второй производной функции $S»(a)$.

Найдем вторую производную:

$$S»(a) = \frac{d}{da}\left( 4a — \frac{1372}{a^2} \right).$$

Производная от $4a$ равна 4, а производная от $-\frac{1372}{a^2}$ равна $\frac{2744}{a^3}$. Таким образом:

$$S»(a) = 4 + \frac{2744}{a^3}.$$

Для $a = 7$:

$$S»(7) = 4 + \frac{2744}{7^3} = 4 + \frac{2744}{343} > 0.$$

Так как вторая производная положительная, то найденная точка $a = 7$ действительно является точкой минимума.

Шаг 8. Ответ

Таким образом, минимальное количество материала будет использовано при следующих размерах бака:

• сторона основания $a = 7$ м,
• высота $h = 7$ м.

Ответ: $7$ м; $7$ м; $7$ м.