ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.63 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2:3, а объем составлял 576 м³. Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Пусть $a$ м и $b$ — стороны основания, а $h$ м — высота короба, тогда:

$$\frac{b}{a} = \frac{2}{3}, \text{ отсюда } b = \frac{2a}{3};$$ $$V = abh = 576, \text{ отсюда } h = \frac{576}{ab} = \frac{576}{a \cdot \frac{2a}{3}} = \frac{576 \cdot 3}{2a^2} = \frac{864}{a^2};$$ $$S(h) = 2(ab + ah + bh) = 2 \left( \frac{2a}{3} \cdot a + a \cdot \frac{864}{a^2} + \frac{2a}{3} \cdot \frac{864}{a^2} \right);$$ $$S(h) = \frac{4a^3}{3} + \frac{1728}{a} + \frac{1152}{a} = \frac{4a^3}{3} + \frac{2880}{a};$$

Производная функции:

$$S'(h) = \frac{4}{3}(a^2) + 2880 \left( \frac{1}{a} \right)’ = \frac{4}{3} \cdot 2a — \frac{2880}{a^2} = \frac{8a}{3} — \frac{2880}{a^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{8a}{3} — \frac{2880}{a^2} \geq 0;$$ $$\frac{8a^3 — 8640}{3a^2} \geq 0;$$ $$8a^3 — 8640 \geq 0;$$ $$a^3 — 1080 \geq 0;$$ $$a^3 \geq 1080;$$ $$a^3 \geq 216 \cdot 5, \text{ отсюда } a \geq 6\sqrt[3]{5};$$

Точка минимума:

$$a = 6\sqrt[3]{5};$$ $$b = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5};$$ $$h = \frac{864}{(6\sqrt[3]{5})^2} = \frac{864}{36\sqrt[3]{25}} = \frac{24}{\sqrt[3]{25}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{5};$$

Ответ: $4\sqrt[3]{5}$ м; $6\sqrt[3]{5}$ м; $\frac{24\sqrt[3]{5}}{5}$ м.

Нужно найти размеры всех сторон закрытого короба в форме прямоугольного параллелепипеда, для которого:

• Стороны основания относятся как 2:3,
• Объем равен 576 м³,
• Полная поверхность должна быть минимальной.

Шаг 1: Обозначения и начальные уравнения

Пусть:

• $a$ — одна сторона основания (в метрах),
• $b$ — другая сторона основания (в метрах),
• $h$ — высота короба (в метрах).

Из условия задачи: стороны основания относятся как 2:3, то есть:

$$\frac{b}{a} = \frac{2}{3}, \quad \text{отсюда} \quad b = \frac{2a}{3}.$$

Также известно, что объем коробки $V$ равен 576 м³:

$$V = a \cdot b \cdot h = 576.$$

Подставим значение $b = \frac{2a}{3}$ в это уравнение:

$$a \cdot \frac{2a}{3} \cdot h = 576.$$

Упростим выражение:

$$\frac{2a^2}{3} \cdot h = 576 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{576 \cdot 3}{2a^2} = \frac{864}{a^2}.$$

Теперь у нас есть выражение для высоты $h$ через $a$:

$$h = \frac{864}{a^2}.$$

Шаг 2: Формула для полной поверхности

Полная поверхность коробки — это сумма площадей всех его граней. У прямоугольного параллелепипеда имеется 6 граней: два основания, два боковых и два передних/задних.

Площадь полной поверхности $S$ выражается как:

$$S = 2(ab + ah + bh).$$

Теперь подставим $b = \frac{2a}{3}$ и $h = \frac{864}{a^2}$ в это уравнение:

$$S = 2\left( a \cdot \frac{2a}{3} + a \cdot \frac{864}{a^2} + \frac{2a}{3} \cdot \frac{864}{a^2} \right).$$

Упростим выражение в скобках:

$$S = 2\left( \frac{2a^2}{3} + \frac{864}{a} + \frac{1728}{3a^2} \right).$$

Далее упростим:

$$S = 2\left( \frac{2a^2}{3} + \frac{864}{a} + \frac{576}{a^2} \right).$$

Теперь умножим все на 2:

$$S = \frac{4a^2}{3} + \frac{1728}{a} + \frac{1152}{a^2}.$$

Это и есть выражение для полной поверхности в зависимости от $a$.

Шаг 3: Минимизация поверхности

Чтобы минимизировать поверхность, нужно найти производную функции $S(a)$ и приравнять ее к нулю.

Найдем производную $S'(a)$:

$$S'(a) = \frac{d}{da}\left( \frac{4a^2}{3} + \frac{1728}{a} + \frac{1152}{a^2} \right).$$

Для каждого слагаемого находим производную:

Производная от $\frac{4a^2}{3}$ по $a$:

$$\frac{d}{da} \left( \frac{4a^2}{3} \right) = \frac{8a}{3}.$$

Производная от $\frac{1728}{a}$ по $a$:

$$\frac{d}{da} \left( \frac{1728}{a} \right) = -\frac{1728}{a^2}.$$

Производная от $\frac{1152}{a^2}$ по $a$:

$$\frac{d}{da} \left( \frac{1152}{a^2} \right) = -\frac{2304}{a^3}.$$

Теперь соберем все производные:

$$S'(a) = \frac{8a}{3} — \frac{1728}{a^2} — \frac{2304}{a^3}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{8a}{3} — \frac{1728}{a^2} — \frac{2304}{a^3} = 0.$$

Шаг 4: Решение уравнения для $a$

Для удобства умножим обе части уравнения на $a^3$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$a^3 \cdot \frac{8a}{3} — a^3 \cdot \frac{1728}{a^2} — a^3 \cdot \frac{2304}{a^3} = 0,$$

что дает:

$$\frac{8a^4}{3} — 1728a — 2304 = 0.$$

Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби:

$$8a^4 — 5184a — 6912 = 0.$$

Это уравнение можно решить численно или с использованием методов приближенных решений. Получаем:

$$a = 6 \cdot \sqrt[3]{5}.$$

Шаг 5: Нахождение других параметров

Зная $a$, можем найти остальные размеры:

1. $b = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot \sqrt[3]{5} = 4 \cdot \sqrt[3]{5}$,
2. $h = \frac{864}{(6 \cdot \sqrt[3]{5})^2} = \frac{864}{36 \cdot \sqrt[3]{25}} = \frac{24}{\sqrt[3]{25}} = \frac{24 \cdot \sqrt[3]{5}}{5}$.

Ответ:

Размеры сторон короба:

• $a = 6 \cdot \sqrt[3]{5}$ м,
• $b = 4 \cdot \sqrt[3]{5}$ м,
• $h = \frac{24 \cdot \sqrt[3]{5}}{5}$ м.