ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.64 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Диагональ боковой грани правильной четырёхугольной призмы равна $d$. При какой длине бокового ребра объём призмы будет наибольшим?

Правильная призма является параллелепипедом, в основании которого лежит правильный многоугольник.

Пусть $h$ — боковое ребро и $a$ — сторона основания призмы, тогда:
$a = \sqrt{d^2 — h^2};$
$V(h) = a^2 \cdot h = (d^2 — h^2) \cdot h = d^2h — h^3;$

Производная функции:
$V'(h) = d^2(h)’ — (h^3)’ = d^2 — 3h^2;$

Промежуток возрастания:
$d^2 — 3h^2 \geq 0;$
$d^2 \geq 3h^2, \text{ отсюда } h \leq \sqrt{\frac{d^2}{3}};$

Точка максимума:
$h = \sqrt{\frac{d^2}{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{3}}{3};$

Ответ: $\frac{d\sqrt{3}}{3}$.

Дана правильная четырёхугольная призма, в которой:

• $d$ — диагональ боковой грани призмы;
• нужно найти длину бокового ребра $h$, при которой объём призмы будет наибольшим.

1. Геометрия правильной четырёхугольной призмы:

Правильная четырёхугольная призма — это параллелепипед, в основании которого лежит квадрат (или правильный четырёхугольник), а боковые грани являются прямоугольниками.

Обозначим:

• $a$ — длина стороны основания (квадрата),
• $h$ — длина бокового ребра (высота призмы),
• $d$ — диагональ боковой грани призмы.

Диагональ боковой грани $d$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где катеты — это боковое ребро $h$ и сторона основания $a$.

Таким образом, можно записать теорему Пифагора для диагонали боковой грани:

$$d^2 = a^2 + h^2$$

Отсюда выразим $a^2$:

$$a^2 = d^2 — h^2$$

2. Объём призмы:

Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле:

$$V = S_{\text{основания}} \cdot h$$

где $S_{\text{основания}}$ — площадь основания (квадрата), равная $a^2$. Таким образом, объём призмы можно выразить как:

$$V(h) = a^2 \cdot h = (d^2 — h^2) \cdot h = d^2 h — h^3$$

Теперь у нас есть выражение для объёма призмы через длину бокового ребра $h$.

3. Найдём производную объёма:

Для того чтобы найти точку максимума объёма, необходимо найти производную функции объёма $V(h)$ по $h$. Для этого продифференцируем выражение $V(h) = d^2 h — h^3$:

$$V'(h) = \frac{d}{dh}(d^2 h) — \frac{d}{dh}(h^3)$$

Вычислим производные:

$$V'(h) = d^2 — 3h^2$$

4. Находим критические точки:

Чтобы найти критические точки, при которых объём может быть максимальным или минимальным, приравняем производную $V'(h)$ к нулю:

$$d^2 — 3h^2 = 0$$

Решим это уравнение относительно $h$:

$$3h^2 = d^2$$ $$h^2 = \frac{d^2}{3}$$ $$h = \frac{d}{\sqrt{3}}$$

Это значение $h$ и будет длиной бокового ребра, при которой объём призмы максимален.

5. Проверка второго порядка:

Чтобы убедиться, что найденная точка $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$ является точкой максимума, посчитаем вторую производную функции объёма $V(h)$:

$$V»(h) = \frac{d}{dh}(d^2 — 3h^2) = -6h$$

Подставляем найденное значение $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$:

$$V»\left( \frac{d}{\sqrt{3}} \right) = -6 \cdot \frac{d}{\sqrt{3}} < 0$$

Так как вторая производная отрицательна, это подтверждает, что точка $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$ является точкой максимума.

6. Ответ:

Таким образом, максимальный объём правильной четырёхугольной призмы будет при длине бокового ребра $h$, равной:

$$h = \frac{d \sqrt{3}}{3}$$