ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.67 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Объём цилиндра равен $V$ м³. Каким должен быть его радиус, чтобы полная поверхность цилиндра была минимальной?

Пусть $r$ — радиус основания и $h$ — высота цилиндра, тогда:
$V = \pi r^2 h, \text{ отсюда } h = \frac{V}{\pi r^2};$
$S(r) = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = \frac{2 \pi r V}{\pi r^2} + 2 \pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2 \pi r^2;$

Производная функции:
$S'(r) = 2 \left( \frac{V}{r} \right)’ + 2 \pi (r^2)’ = -\frac{2V}{r^2} + 2 \pi \cdot 2r = 4 \pi r — \frac{2V}{r^2};$

Промежуток возрастания:
$4 \pi r — \frac{2V}{r^2} \geq 0;$
$4 \pi r^3 — 2V \geq 0;$
$4 \pi r^3 \geq 2V;$
$r^3 \geq \frac{2V}{4 \pi}, \text{ отсюда } r \geq \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}};$

Точка минимума $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}};$

Ответ: $\boxed{\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}}$

Объём цилиндра равен $V$ м³. Необходимо найти радиус $r$ основания цилиндра, при котором полная поверхность цилиндра будет минимальной.

1) Запишем выражение для объёма и полной поверхности цилиндра.

Объём цилиндра $V$ выражается через радиус $r$ и высоту $h$ следующим образом:

$$V = \pi r^2 h.$$

Из этого выражения можно выразить высоту $h$ через объём и радиус:

$$h = \frac{V}{\pi r^2}.$$

Теперь запишем формулу для полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из двух частей: боковой поверхности и двух оснований. Боковая поверхность имеет площадь $2 \pi r h$, а два основания дают площадь $2 \pi r^2$. Следовательно, полная поверхность $S(r)$ будет:

$$S(r) = 2 \pi r h + 2 \pi r^2.$$

Подставим выражение для $h$ из первого шага:

$$S(r) = 2 \pi r \left( \frac{V}{\pi r^2} \right) + 2 \pi r^2.$$

Упростим первое слагаемое:

$$S(r) = \frac{2 \pi r V}{\pi r^2} + 2 \pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2 \pi r^2.$$

Таким образом, получаем выражение для полной поверхности:

$$S(r) = \frac{2V}{r} + 2 \pi r^2.$$

2) Найдём производную функции поверхности $S(r)$ по $r$.

Для минимизации полной поверхности нам нужно найти точку минимума функции $S(r)$. Для этого вычислим производную функции $S(r)$ по $r$.

Запишем формулу для производной:

$$S'(r) = \frac{d}{dr} \left( \frac{2V}{r} + 2 \pi r^2 \right).$$

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

• Производная от $\frac{2V}{r}$ по $r$ равна $-\frac{2V}{r^2}$.
• Производная от $2 \pi r^2$ по $r$ равна $4 \pi r$.

Таким образом, производная функции $S(r)$ будет:

$$S'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 4 \pi r.$$

3) Найдём критические точки.

Для нахождения минимальной точки функции необходимо приравнять производную к нулю:

$$S'(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{2V}{r^2} + 4 \pi r = 0.$$

Преобразуем это уравнение:

$$4 \pi r = \frac{2V}{r^2}.$$

Умножим обе стороны на $r^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$4 \pi r^3 = 2V.$$

Теперь поделим обе стороны на 2:

$$2 \pi r^3 = V.$$

И, наконец, выразим радиус $r$:

$$r^3 = \frac{V}{2 \pi}.$$

Из этого уравнения находим радиус:

$$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}.$$

4) Проверка, что это минимум.

Чтобы убедиться, что найденная точка является минимумом, вычислим вторую производную функции $S(r)$. Вторая производная покажет, является ли критическая точка минимумом или максимумом.

Найдём вторую производную $S»(r)$:

$$S»(r) = \frac{d}{dr} \left( -\frac{2V}{r^2} + 4 \pi r \right).$$

Производная от $-\frac{2V}{r^2}$ по $r$ равна $\frac{4V}{r^3}$, а производная от $4 \pi r$ по $r$ равна $4 \pi$. Следовательно:

$$S»(r) = \frac{4V}{r^3} + 4 \pi.$$

Для всех $r > 0$ это выражение положительно, так как $\frac{4V}{r^3} > 0$ и $4 \pi > 0$. Это означает, что функция $S(r)$ выпукла вверх, и найденная точка $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$ действительно является точкой минимума.

5) Ответ.

Таким образом, радиус основания цилиндра, при котором полная поверхность будет минимальной, равен:

$$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}.$$

Ответ: $\boxed{\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}}$.