ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$$y=\{\begin{array}{ll}-4x+12,& \text{если }x<2\\ x^2-2x+2,& \text{если }x\ge 2\end{array}$$

на отрезке:

а) $[-3; 0]$:

б) $[3; 4]$:

в) $[-1; 3]$:

г) $[1; 4]$

$$y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2 \\ x^2 — 2x + 2, & \text{если } x \geq 2 \end{cases}$$

Стационарные точки функции:

Первая функция:

$$y’ = -(4x — 12)’ = -4 — \text{нет};$$

Вторая функция:

$$y’ = (x^2)’ — (2x — 2)’ = 2x — 2;$$ $$2x — 2 = 0;$$ $$2x = 2, \text{ отсюда } x = 1 — \text{нет};$$

$x = 2$ — точка разрыва функции;

а) На отрезке $[-3; 0]$:

$$y(-3) = -4 \cdot (-3) + 12 = 12 + 12 = 24;$$ $$y(0) = -4 \cdot 0 + 12 = 0 + 12 = 12;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 12$; $y_{\text{max}} = 24$.

б) На отрезке $[3; 4]$:

$$y(3) = 3^2 — 2 \cdot 3 + 2 = 9 — 6 + 2 = 5;$$ $$y(4) = 4^2 — 2 \cdot 4 + 2 = 16 — 8 + 2 = 10;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 5$; $y_{\text{max}} = 10$.

в) На отрезке $[-1; 3]$:

$$y(-1) = -4 \cdot (-1) + 12 = 4 + 12 = 16;$$ $$y(3) = 3^2 — 2 \cdot 3 + 2 = 9 — 6 + 2 = 5;$$ $$y_1(2) = -4 \cdot 2 + 12 = -8 + 12 = 4;$$ $$y_2(2) = 2^2 — 2 \cdot 2 + 2 = 4 — 4 + 2 = 2;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 2$; $y_{\text{max}} = 16$.

г) На отрезке $[1; 4]$:

$$y(1) = -4 \cdot 1 + 12 = 12 — 4 = 8;$$ $$y(4) = 4^2 — 2 \cdot 4 + 2 = 16 — 8 + 2 = 10;$$ $$y_1(2) = -4 \cdot 2 + 12 = -8 + 12 = 4;$$ $$y_2(2) = 2^2 — 2 \cdot 2 + 2 = 4 — 4 + 2 = 2;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 2$; $y_{\text{max}} = 10$.

Дано:

$$y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2 \\ x^2 — 2x + 2, & \text{если } x \geq 2 \end{cases}$$

Нам нужно найти стационарные точки функции и исследовать значения функции на различных отрезках.

1. Стационарные точки функции:

1.1 Первая часть функции: $y = -4x + 12$

Для первой функции $y = -4x + 12$, вычислим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(-4x + 12) = -4.$$

Производная постоянна, равна -4, это означает, что функция не имеет стационарных точек на отрезке $x < 2$. Производная не равна нулю, и функция не имеет точек, где скорость изменения функции равна нулю.

1.2 Вторая часть функции: $y = x^2 — 2x + 2$

Теперь найдем производную второй части функции $y = x^2 — 2x + 2$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2 — 2x + 2) = 2x — 2.$$

Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю:

$$2x — 2 = 0.$$

Решим уравнение:

$$2x = 2,$$ $$x = 1.$$

Таким образом, стационарная точка находится в $x = 1$, но эта точка находится на границе между двумя частями функции. Важно отметить, что эта точка может не быть стационарной, так как $x = 1$ не удовлетворяет условию $x \geq 2$. Следовательно, $x = 1$ не является стационарной точкой для этой функции на отрезке $x \geq 2$.

1.3 Точка разрыва: $x = 2$

Функция имеет разрыв в точке $x = 2$, так как она имеет два разных выражения на разных участках области. Это точка разрыва, а не стационарная точка.

2. Исследуем значения функции на разных отрезках:

а) На отрезке $[-3; 0]$:

На этом отрезке $x < 2$, поэтому мы используем первую часть функции $y = -4x + 12$.

• При $x = -3$:

$$y(-3) = -4 \cdot (-3) + 12 = 12 + 12 = 24.$$

• При $x = 0$:

$$y(0) = -4 \cdot 0 + 12 = 12.$$

Ответ: на отрезке $[-3; 0]$ функция принимает минимальное значение $y_{\text{min}} = 12$ и максимальное значение $y_{\text{max}} = 24$.

б) На отрезке $[3; 4]$:

На этом отрезке $x \geq 2$, поэтому мы используем вторую часть функции $y = x^2 — 2x + 2$.

• При $x = 3$:

$$y(3) = 3^2 — 2 \cdot 3 + 2 = 9 — 6 + 2 = 5.$$

• При $x = 4$:

$$y(4) = 4^2 — 2 \cdot 4 + 2 = 16 — 8 + 2 = 10.$$

Ответ: на отрезке $[3; 4]$ функция принимает минимальное значение $y_{\text{min}} = 5$ и максимальное значение $y_{\text{max}} = 10$.

в) На отрезке $[-1; 3]$:

На этом отрезке $x < 2$, поэтому на интервале $[-1; 2)$ мы используем первую часть функции $y = -4x + 12$, а на интервале $[2; 3]$ — вторую часть $y = x^2 — 2x + 2$.

• При $x = -1$:

$$y(-1) = -4 \cdot (-1) + 12 = 4 + 12 = 16.$$

• При $x = 2$ (рассматриваем обе части):

Для первой части:

$$y_1(2) = -4 \cdot 2 + 12 = -8 + 12 = 4.$$

Для второй части:

$$y_2(2) = 2^2 — 2 \cdot 2 + 2 = 4 — 4 + 2 = 2.$$

• При $x = 3$:

$$y(3) = 3^2 — 2 \cdot 3 + 2 = 9 — 6 + 2 = 5.$$

Ответ: на отрезке $[-1; 3]$ функция принимает минимальное значение $y_{\text{min}} = 2$ и максимальное значение $y_{\text{max}} = 16$.

г) На отрезке $[1; 4]$:

На этом отрезке $x < 2$ и $x \geq 2$, поэтому на интервале $[1; 2)$ используем первую часть функции $y = -4x + 12$, а на интервале $[2; 4]$ — вторую часть $y = x^2 — 2x + 2$.

• При $x = 1$:

$$y(1) = -4 \cdot 1 + 12 = 12 — 4 = 8.$$

• При $x = 2$ (рассматриваем обе части):

Для первой части:

$$y_1(2) = -4 \cdot 2 + 12 = -8 + 12 = 4.$$

Для второй части:

$$y_2(2) = 2^2 — 2 \cdot 2 + 2 = 4 — 4 + 2 = 2.$$

• При $x = 4$:

$$y(4) = 4^2 — 2 \cdot 4 + 2 = 16 — 8 + 2 = 10.$$

Ответ: на отрезке $[1; 4]$ функция принимает минимальное значение $y_{\text{min}} = 2$ и максимальное значение $y_{\text{max}} = 10$.

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\text{min}} = 12$; $y_{\text{max}} = 24$.

б) $y_{\text{min}} = 5$; $y_{\text{max}} = 10$.

в) $y_{\text{min}} = 2$; $y_{\text{max}} = 16$.

г) $y_{\text{min}} = 2$; $y_{\text{max}} = 10$.