ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$$y=\{\begin{array}{ll}(x+2{)}^2-3,& \text{если }x\le -2;\\ x^2-4,& \text{если }x>-2\end{array}$$

на отрезке:

а) $[-4; -3]$

б) $[0; 2]$

в) $[-2; 3]$

г) $[-3; 0]$

$$y = \begin{cases} (x+2)^2 — 3, & \text{если } x \leq -2; \\ x^2 — 4, & \text{если } x > -2 \end{cases}$$

Стационарные точки функции:

Первая функция:

$$y’ = \left( (x+2)^2 \right)’ — (3)’ = 2(x+2) — 0 = 2x + 4;$$ $$2x + 4 = 0;$$ $$2x = -4, \text{ отсюда } x = -2;$$

Вторая функция:

$$y’ = (x^2)’ — (4)’ = 2x — 0 = 2x;$$ $$2x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$

$x = -2$ — точка разрыва;

а) На отрезке $[-4; -3]$:

$$y(-4) = (-4+2)^2 — 3 = 2^2 — 3 = 4 — 3 = 1;$$ $$y(-3) = (-3+2)^2 — 3 = 1^2 — 3 = 1 — 3 = -2;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -2$; $y_{\text{max}} = 1$.

б) На отрезке $[0; 2]$:

$$y(0) = 0^2 — 4 = 0 — 4 = -4;$$ $$y(3) = 3^2 — 4 = 9 — 4 = 5;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 0$.

в) На отрезке $[-2; 3]$:

$$y_1(-2) = (-2+2)^2 — 3 = 0^2 — 3 = -3;$$ $$y_2(-2) = (-2)^2 — 4 = 4 — 4 = 0;$$ $$y(0) = 0^2 — 4 = 0 — 4 = -4;$$ $$y(3) = 3^2 — 4 = 9 — 4 = 5;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 5$.

г) На отрезке $[-3; 0]$:

$$y(-3) = (-3+2)^2 — 3 = 1^2 — 3 = 1 — 3 = -2;$$ $$y(0) = 0^2 — 4 = 0 — 4 = -4;$$ $$y_1(-2) = (-2+2)^2 — 3 = 0^2 — 3 = -3;$$ $$y_2(-2) = (-2)^2 — 4 = 4 — 4 = 0;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}}$ — не существует.

Дано:

$$y = \begin{cases} (x+2)^2 — 3, & \text{если } x \leq -2; \\ x^2 — 4, & \text{если } x > -2 \end{cases}$$

Нам нужно найти стационарные точки функции и исследовать значения функции на различных отрезках.

1. Стационарные точки функции:

1.1 Первая часть функции: $y = (x+2)^2 — 3$

Для первой функции $y = (x+2)^2 — 3$, вычислим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}((x+2)^2 — 3) = 2(x+2).$$

Теперь, для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю:

$$2(x+2) = 0.$$

Решим это уравнение:

$$x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2.$$

Таким образом, стационарная точка находится в $x = -2$, но она является границей для первого участка функции $x \leq -2$. Это не будет стационарной точкой в традиционном смысле, потому что в точке $x = -2$ переход между двумя частями функции (разрыв).

1.2 Вторая часть функции: $y = x^2 — 4$

Теперь найдем производную второй части функции $y = x^2 — 4$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2 — 4) = 2x.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.$$

Таким образом, стационарная точка находится в $x = 0$. Эта точка лежит на отрезке $x > -2$, следовательно, $x = 0$ является стационарной точкой для второй части функции.

1.3 Точка разрыва: $x = -2$

Функция имеет разрыв в точке $x = -2$, так как она состоит из двух частей. Таким образом, $x = -2$ — это точка разрыва, а не стационарная точка.

2. Исследуем значения функции на разных отрезках:

а) На отрезке $[-4; -3]$:

На этом отрезке $x \leq -2$, следовательно, используем первую часть функции $y = (x+2)^2 — 3$.

• При $x = -4$:

$$y(-4) = (-4 + 2)^2 — 3 = (-2)^2 — 3 = 4 — 3 = 1.$$

• При $x = -3$:

$$y(-3) = (-3 + 2)^2 — 3 = (-1)^2 — 3 = 1 — 3 = -2.$$

Ответ: на отрезке $[-4; -3]$ функция принимает минимальное значение $y_{\text{min}} = -2$ и максимальное значение $y_{\text{max}} = 1$.

б) На отрезке $[0; 2]$:

На этом отрезке $x > -2$, следовательно, используем вторую часть функции $y = x^2 — 4$.

• При $x = 0$:

$$y(0) = 0^2 — 4 = 0 — 4 = -4.$$

• При $x = 3$:

$$y(3) = 3^2 — 4 = 9 — 4 = 5.$$

Ответ: на отрезке $[0; 2]$ функция принимает минимальное значение $y_{\text{min}} = -4$ и максимальное значение $y_{\text{max}} = 5$.

в) На отрезке $[-2; 3]$:

На этом отрезке есть два промежутка: $x \leq -2$ (первая часть функции) и $x > -2$ (вторая часть функции). Рассмотрим оба случая.

• При $x = -2$:

Для первой части:

$$y_1(-2) = (-2 + 2)^2 — 3 = 0^2 — 3 = -3.$$

Для второй части:

$$y_2(-2) = (-2)^2 — 4 = 4 — 4 = 0.$$

• При $x = 0$:

$$y(0) = 0^2 — 4 = 0 — 4 = -4.$$

• При $x = 3$:

$$y(3) = 3^2 — 4 = 9 — 4 = 5.$$

Ответ: на отрезке $[-2; 3]$ функция принимает минимальное значение $y_{\text{min}} = -4$ и максимальное значение $y_{\text{max}} = 5$.

г) На отрезке $[-3; 0]$:

На этом отрезке $x \leq -2$, следовательно, используем первую часть функции $y = (x+2)^2 — 3$.

• При $x = -3$:

$$y(-3) = (-3 + 2)^2 — 3 = (-1)^2 — 3 = 1 — 3 = -2.$$

• При $x = 0$:

$$y(0) = 0^2 — 4 = 0 — 4 = -4.$$

• При $x = -2$:

Для первой части:

$$y_1(-2) = (-2 + 2)^2 — 3 = 0^2 — 3 = -3.$$

Для второй части:

$$y_2(-2) = (-2)^2 — 4 = 4 — 4 = 0.$$

Ответ: на отрезке $[-3; 0]$ функция принимает минимальное значение $y_{\text{min}} = -4$, максимальное значение $y_{\text{max}}$ не существует, так как функция разрывная в точке $x = -2$.

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\text{min}} = -2$; $y_{\text{max}} = 1$.

б) $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 5$.

в) $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 5$.

г) $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}}$ — не существует.