ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = x^2 — 8x + 19$ на отрезке $[-1; 5]$;

б) $y = x^2 + 4x — 3$ на отрезке $[0; 2]$;

в) $y = 2x^2 — 8x + 6$ на отрезке $[-1; 4]$;

г) $y = -3x^2 + 6x — 10$ на отрезке $[-2; 9]$

а) $y = x^2 — 8x + 19$ на отрезке $[-1; 5]$;

Стационарные точки:

$$y’ = (x^2)’ — (8x — 19)’ = 2x — 8;$$ $$2x — 8 = 0;$$ $$2x = 8, \text{отсюда } x = 4;$$

Значения функции:

$$y(-1) = (-1)^2 — 8 \cdot (-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28;$$ $$y(4) = 4^2 — 8 \cdot 4 + 19 = 16 — 32 + 19 = 3;$$ $$y(5) = 5^2 — 8 \cdot 5 + 19 = 25 — 40 + 19 = 4;$$

Ответ: $y_{\min} = 3$; $y_{\max} = 28$.

б) $y = x^2 + 4x — 3$ на отрезке $[0; 2]$;

Стационарные точки:

$$y’ = (x^2)’ + (4x — 3)’ = 2x + 4;$$ $$2x + 4 = 0;$$ $$2x = -4, \text{отсюда } x = -2;$$

Значения функции:

$$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 — 3 = -3;$$ $$y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 — 3 = 4 + 8 — 3 = 9;$$

Ответ: $y_{\min} = -3$; $y_{\max} = 9$.

в) $y = 2x^2 — 8x + 6$ на отрезке $[-1; 4]$;

Стационарные точки:

$$y’ = 2(x^2)’ — (8x — 6)’ = 2 \cdot 2x — 8 = 4x — 8;$$ $$4x — 8 = 0;$$ $$4x = 8, \text{отсюда } x = 2;$$

Значения функции:

$$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 — 8 \cdot (-1) + 6 = 2 + 8 + 6 = 16;$$ $$y(2) = 2 \cdot 2^2 — 8 \cdot 2 + 6 = 8 — 16 + 6 = -2;$$ $$y(4) = 2 \cdot 4^2 — 8 \cdot 4 + 6 = 32 — 32 + 6 = 6;$$

Ответ: $y_{\min} = -2$; $y_{\max} = 16$.

г) $y = -3x^2 + 6x — 10$ на отрезке $[-2; 9]$;

Стационарные точки:

$$y’ = -3(x^2)’ + (6x — 10)’ = -3 \cdot 2x + 6 = 6 — 6x;$$ $$6 — 6x = 0;$$ $$6 = 6x, \text{отсюда } x = 1;$$

Значения функции:

$$y(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) — 10 = -12 — 12 — 10 = -34;$$ $$y(1) = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 10 = -3 + 6 — 10 = -7;$$ $$y(9) = -3 \cdot 9^2 + 6 \cdot 9 — 10 = -243 + 54 — 10 = -199;$$

Ответ: $y_{\min} = -199$; $y_{\max} = -7$.

Дано:

1. $y = x^2 — 8x + 19$ на отрезке $[-1; 5]$
2. $y = x^2 + 4x — 3$ на отрезке $[0; 2]$
3. $y = 2x^2 — 8x + 6$ на отрезке $[-1; 4]$
4. $y = -3x^2 + 6x — 10$ на отрезке $[-2; 9]$

1. Стационарные точки функции:

1.1 Первая функция: $y = x^2 — 8x + 19$

Для нахождения стационарных точек находим первую производную функции $y = x^2 — 8x + 19$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2 — 8x + 19) = 2x — 8.$$

Теперь приравниваем производную к нулю для нахождения стационарных точек:

$$2x — 8 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 4.$$

Таким образом, $x = 4$ — стационарная точка для функции $y = x^2 — 8x + 19$, и эта точка лежит на отрезке $[-1; 5]$.

1.2 Вторая функция: $y = x^2 + 4x — 3$

Для нахождения стационарных точек находим первую производную функции $y = x^2 + 4x — 3$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x — 3) = 2x + 4.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2x + 4 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$2x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -2.$$

Однако, $x = -2$ не лежит на отрезке $[0; 2]$, поэтому на данном отрезке стационарных точек нет.

1.3 Третья функция: $y = 2x^2 — 8x + 6$

Для нахождения стационарных точек находим первую производную функции $y = 2x^2 — 8x + 6$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(2x^2 — 8x + 6) = 4x — 8.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$4x — 8 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$4x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 2.$$

Таким образом, $x = 2$ — стационарная точка для функции $y = 2x^2 — 8x + 6$, и эта точка лежит на отрезке $[-1; 4]$.

1.4 Четвертая функция: $y = -3x^2 + 6x — 10$

Для нахождения стационарных точек находим первую производную функции $y = -3x^2 + 6x — 10$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x — 10) = -6x + 6.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$-6x + 6 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$-6x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = 1.$$

Таким образом, $x = 1$ — стационарная точка для функции $y = -3x^2 + 6x — 10$, и эта точка лежит на отрезке $[-2; 9]$.

2. Значения функции на отрезках:

а) На отрезке $[-1; 5]$:

Для этого отрезка используем функцию $y = x^2 — 8x + 19$. Мы уже нашли, что стационарная точка для этой функции $x = 4$.

• При $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^2 — 8 \cdot (-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28.$$

• При $x = 4$:

$$y(4) = 4^2 — 8 \cdot 4 + 19 = 16 — 32 + 19 = 3.$$

• При $x = 5$:

$$y(5) = 5^2 — 8 \cdot 5 + 19 = 25 — 40 + 19 = 4.$$

Ответ: $y_{\min} = 3$; $y_{\max} = 28$.

б) На отрезке $[0; 2]$:

Для этого отрезка используем функцию $y = x^2 + 4x — 3$. На этом отрезке нет стационарных точек, так как $x = -2$ не лежит на отрезке $[0; 2]$.

• При $x = 0$:

$$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 — 3 = -3.$$

• При $x = 2$:

$$y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 — 3 = 4 + 8 — 3 = 9.$$

Ответ: $y_{\min} = -3$; $y_{\max} = 9$.

в) На отрезке $[-1; 4]$:

Для этого отрезка используем функцию $y = 2x^2 — 8x + 6$. Мы уже нашли, что стационарная точка для этой функции $x = 2$.

• При $x = -1$:

$$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 — 8 \cdot (-1) + 6 = 2 + 8 + 6 = 16.$$

• При $x = 2$:

$$y(2) = 2 \cdot 2^2 — 8 \cdot 2 + 6 = 8 — 16 + 6 = -2.$$

• При $x = 4$:

$$y(4) = 2 \cdot 4^2 — 8 \cdot 4 + 6 = 32 — 32 + 6 = 6.$$

Ответ: $y_{\min} = -2$; $y_{\max} = 16$.

г) На отрезке $[-2; 9]$:

Для этого отрезка используем функцию $y = -3x^2 + 6x — 10$. Мы уже нашли, что стационарная точка для этой функции $x = 1$.

• При $x = -2$:

$$y(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) — 10 = -12 — 12 — 10 = -34.$$

• При $x = 1$:

$$y(1) = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 10 = -3 + 6 — 10 = -7.$$

• При $x = 9$:

$$y(9) = -3 \cdot 9^2 + 6 \cdot 9 — 10 = -243 + 54 — 10 = -199.$$

Ответ: $y_{\min} = -199$; $y_{\max} = -7$.

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\min} = 3$; $y_{\max} = 28$.

б) $y_{\min} = -3$; $y_{\max} = 9$.

в) $y_{\min} = -2$; $y_{\max} = 16$.

г) $y_{\min} = -199$; $y_{\max} = -7$.