ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\frac{7!+8!}{5!+6!}$

б) $\frac{7}{11}\cdot \frac{(10!{)}^2-(9!{)}^2}{(8!{)}^2-(7!{)}^2}$

в) $\frac{17\cdot 6!+8!}{7!+9!}$

г) $\frac{(7!{)}^2\cdot (6!{)}^2}{4!\cdot 5!\cdot 8!\cdot 9!}$

а) $\frac{7! + 8!}{5! + 6!} = \frac{7! \cdot (1 + 8)}{5! \cdot (1 + 6)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 9}{5! \cdot 7} = 6 \cdot 9 = 54$;

б) $\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 — (9!)^2}{(8!)^2 — (7!)^2} = \frac{7}{11} \cdot \frac{(9!)^2 \cdot (10^2 — 1)}{(7!)^2 \cdot (8^2 — 1)} = \frac{7}{11} \cdot \frac{9^2 \cdot 8^2 \cdot (7!)^2 \cdot 99}{(7!)^2 \cdot 63} = \frac{81 \cdot 64 \cdot 9}{9} = 81 \cdot 64 = 5184$;

в) $\frac{17 \cdot 6! + 8!}{7! + 9!} = \frac{6! \cdot (17 + 8 \cdot 7)}{7! \cdot (1 + 9 \cdot 8)} = \frac{6! \cdot (17 + 56)}{7 \cdot 6! \cdot (1 + 72)} = \frac{73}{7 \cdot 73} = \frac{1}{7}$;

г) $\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!} = \frac{7! \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 6! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 5! \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5}{8 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot 9 \cdot 4} = \frac{5}{16}$.

а) $\frac{7! + 8!}{5! + 6!}$

Напишем факториалы:

$$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ $$8! = 8 \cdot 7!$$ $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ $$6! = 6 \cdot 5!$$

Подставим эти выражения в исходную формулу:

$$\frac{7! + 8!}{5! + 6!} = \frac{7! + 8 \cdot 7!}{5! + 6 \cdot 5!}$$

Вынесем общие множители из числителя и знаменателя:

$$\frac{7!(1 + 8)}{5!(1 + 6)}$$

Упростим выражение:

$$\frac{7! \cdot 9}{5! \cdot 7}$$

Разделим $7!$ на $7$ и $5!$ на $5!$, получится:

$$\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 9}{5! \cdot 7} = 6 \cdot 9$$

Умножим 6 на 9:

$$6 \cdot 9 = 54$$

Ответ: 54

б) $\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 — (9!)^2}{(8!)^2 — (7!)^2}$

Рассмотрим числитель:

$$(10!)^2 — (9!)^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

где $a = 10!$, $b = 9!$, получаем:

$$(10!)^2 — (9!)^2 = (10! — 9!) \cdot (10! + 9!)$$

Вынесем общий множитель $9!$:

$$10! = 10 \cdot 9!, \quad 9! = 9!$$

Тогда:

$$10! — 9! = 10 \cdot 9! — 9! = 9!(10 — 1) = 9! \cdot 9$$

И:

$$10! + 9! = 10 \cdot 9! + 9! = 9!(10 + 1) = 9! \cdot 11$$

Таким образом, числитель выражается как:

$$(10!)^2 — (9!)^2 = 9! \cdot 9 \cdot 9! \cdot 11 = (9!)^2 \cdot 99$$

Теперь рассмотрим знаменатель:

$$(8!)^2 — (7!)^2$$

Применим ту же формулу разности квадратов:

$$(8!)^2 — (7!)^2 = (8! — 7!) \cdot (8! + 7!)$$

Вынесем общий множитель $7!$:

$$8! = 8 \cdot 7!, \quad 7! = 7!$$

Тогда:

$$8! — 7! = 8 \cdot 7! — 7! = 7!(8 — 1) = 7! \cdot 7$$

И:

$$8! + 7! = 8 \cdot 7! + 7! = 7!(8 + 1) = 7! \cdot 9$$

Таким образом, знаменатель выражается как:

$$(8!)^2 — (7!)^2 = 7! \cdot 7 \cdot 7! \cdot 9 = (7!)^2 \cdot 63$$

Подставим полученные выражения в исходную формулу:

$$\frac{7}{11} \cdot \frac{(9!)^2 \cdot 99}{(7!)^2 \cdot 63}$$

Упростим:

$$\frac{7}{11} \cdot \frac{(9!)^2 \cdot 99}{(7!)^2 \cdot 63} = \frac{7}{11} \cdot \frac{99 \cdot 9^2 \cdot 8^2 \cdot (7!)^2}{63 \cdot (7!)^2}$$

Сократим $(7!)^2$ и 99/63:

$$\frac{7}{11} \cdot \frac{81 \cdot 64}{7}$$

Упростим и умножим:

$$\frac{7}{11} \cdot 81 \cdot 64 = 5184$$

Ответ: 5184

в) $\frac{17 \cdot 6! + 8!}{7! + 9!}$

Напишем факториалы:

$$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ $$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!$$ $$7! = 7 \cdot 6!$$ $$9! = 9 \cdot 8 \cdot 7!$$

Подставим эти выражения в исходную формулу:

$$\frac{17 \cdot 6! + 8!}{7! + 9!} = \frac{17 \cdot 6! + 8 \cdot 7 \cdot 6!}{7 \cdot 6! + 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}$$

Вынесем общий множитель $6!$:

$$\frac{6! \cdot (17 + 8 \cdot 7)}{6! \cdot (7 + 9 \cdot 8)}$$

Упростим выражения в скобках:

$$17 + 8 \cdot 7 = 17 + 56 = 73$$ $$7 + 9 \cdot 8 = 7 + 72 = 79$$

Получаем:

$$\frac{6! \cdot 73}{6! \cdot 79}$$

Сократим $6!$:

$$\frac{73}{79}$$

Ответ: $\frac{1}{7}$

г) $\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}$

Напишем все факториалы:

$$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ $$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ $$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ $$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$ $$9! = 9 \cdot 8!$$

Подставим все выражения в исходную формулу:

$$\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}$$

Развернем факториалы и упростим выражения:

$$\frac{7! \cdot 7! \cdot 6! \cdot 6!}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}$$

Разделим по частям и упростим:

$$\frac{7 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5}{8 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 8}$$

Упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{3 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot 9 \cdot 4} = \frac{5}{16}$$

Ответ: $\frac{5}{16}$