ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколькими нулями оканчивается число:

a) 10!;

б) 15!;

в) 26!;

г) 100!?

Числа, кратные $5^1$ при умножении на $2n$ дают число с одним нулем, а числа, кратные $5^2$ при умножении на $4n$ дают число с двумя нулями; так как количество чисел, кратных 5 или 25, меньше, чем количество чисел, кратных 2 или 4, то будем считать только их;

а) $10!$

$$5^1 = \{10; 5\} = 2;$$ $$5^2 = \{-\} = 0;$$ $$A = 2 + 0 = 2;$$

Ответ: 2 нуля.

б) $15!$

$$5^1 = \{15; 10; 5\} = 3;$$ $$5^2 = \{-\} = 0;$$ $$A = 3 + 0 = 3;$$

Ответ: 3 нуля.

в) $26!$

$$5^1 = \{25; 20; 15; 10; 5\} = 5;$$ $$5^2 = \{25\} = 1;$$ $$A = 5 + 1 = 6;$$

Ответ: 6 нулей.

г) $100!$

$$5^1 = 100 \div 5 = 20;$$ $$5^2 = \{100; 75; 50; 25\} = 4;$$ $$A = 20 + 4 = 24;$$

Ответ: 24 нуля.

Для нахождения количества нулей в конце факториала $n!$, нужно посчитать, сколько раз число $n!$ делится на 10, то есть на произведение $2 \times 5$. Поскольку чисел, кратных 2, всегда больше, чем чисел, кратных 5, то важным фактором будет количество чисел, кратных 5. Каждое число, кратное $5^1 = 5$, при умножении на соответствующее количество чисел, кратных 2, даёт один ноль. Числа, кратные $5^2 = 25$, дают уже два нуля, поскольку их произведение с подходящими числами, кратными 2, даёт два нуля, и так далее. Таким образом, для нахождения числа нулей в факториале нужно учитывать кратность чисел $5^1$, $5^2$, $5^3$, и так далее, пока степень $5^k$ не превысит $n$.

а) $10!$

Нам нужно посчитать количество чисел, кратных 5, и чисел, кратных $5^2$, в пределах от 1 до 10.

1. Числа, кратные $5^1 = 5$:
   Это числа, которые делятся на 5. В данном случае это числа 10 и 5.
   То есть, $\{10, 5\}$. Количество таких чисел: 2.
2. Числа, кратные $5^2 = 25$:
   Проверяем, есть ли числа, которые делятся на 25 в пределах от 1 до 10. Таких чисел нет.
   То есть, $\{-\}$. Количество таких чисел: 0.

Теперь суммируем:

$$A = 2 \, (\text{от } 5^1) + 0 \, (\text{от } 5^2) = 2.$$

Ответ: 2 нуля.

б) $15!$

Теперь рассмотрим факториал числа 15.

1. Числа, кратные $5^1 = 5$:
   Это числа 5, 10 и 15.
   То есть, $\{15, 10, 5\}$. Количество таких чисел: 3.
2. Числа, кратные $5^2 = 25$:
   В данном случае нет чисел, которые делятся на 25 в пределах от 1 до 15.
   То есть, $\{-\}$. Количество таких чисел: 0.

Теперь суммируем:

$$A = 3 \, (\text{от } 5^1) + 0 \, (\text{от } 5^2) = 3.$$

Ответ: 3 нуля.

в) $26!$

Теперь рассмотрим факториал числа 26.

1. Числа, кратные $5^1 = 5$:
   Это числа 5, 10, 15, 20 и 25.
   То есть, $\{25, 20, 15, 10, 5\}$. Количество таких чисел: 5.
2. Числа, кратные $5^2 = 25$:
   Это число 25.
   То есть, $\{25\}$. Количество таких чисел: 1.

Теперь суммируем:

$$A = 5 \, (\text{от } 5^1) + 1 \, (\text{от } 5^2) = 6.$$

Ответ: 6 нулей.

г) $100!$

Теперь рассмотрим факториал числа 100.

1. Числа, кратные $5^1 = 5$:
   Это все числа, которые делятся на 5 в пределах от 1 до 100.
   Мы находим их, разделив 100 на 5:
   $100 \div 5 = 20$. Это означает, что чисел, кратных 5, будет 20.
2. Числа, кратные $5^2 = 25$:
   Это все числа, которые делятся на 25 в пределах от 1 до 100.
   Мы находим их, разделив 100 на 25:
   $100 \div 25 = 4$. Это означает, что чисел, кратных 25, будет 4.
3. Числа, кратные $5^3 = 125$:
   В пределах от 1 до 100 нет чисел, которые делятся на 125.
   То есть, $\{-\}$. Количество таких чисел: 0.

Теперь суммируем:

$$A = 20 \, (\text{от } 5^1) + 4 \, (\text{от } 5^2) + 0 \, (\text{от } 5^3) = 24.$$

Ответ: 24 нуля.

Итоговые ответы:

• $10!$ — 2 нуля.
• $15!$ — 3 нуля.
• $26!$ — 6 нулей.
• $100!$ — 24 нуля.