ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите наибольшее натуральное число n, для которого:

a) 10! кратно 2n;

б) 16! кратно 2n;

в) 26! кратно 5n;

г) 28! кратно 3n

Произведение кратно числу $a^n$, если в нем содержится $n$ чисел $a$.

а) $10!$ кратно $2^n$;
$n=\{10;8;6;4;2\};$
$n=\{2\cdot 5;2^3;2\cdot 3;2^2;2\}=8;$
Ответ: $n=8$.

б) $16!$ кратно $2^n$;
$n=\{16;14;12;10;8;6;4;2\};$
$n=\{2^4;2\cdot 7;2^2\cdot 3;2\cdot 5;2^3;2\cdot 3;2^2;2\}=15;$
Ответ: $n=15$.

в) $26!$ кратно $5^n$;
$n=\{25;20;15;10;5\};$
$n=\{5^2;5\cdot 4;5\cdot 3;5\cdot 2;5\}=6;$
Ответ: $n=6$.

г) $28!$ кратно $3^n$;
$n=\{27;24;21;18;15;12;9;6;3\};$
$n=\{3^3;3\cdot 8;3\cdot 7;3^2\cdot 2;3\cdot 5;3\cdot 4;3^2;3\cdot 2;3\}=13;$
Ответ: $n=13$.

Мы будем использовать формулу для нахождения количества кратных чисел $a^n$ в факториале $m!$, которая основывается на подсчете, сколько раз число $a$ встречается как множитель в разложении всех чисел от 1 до $m$.

а) $10!$ кратно $2^n$

Нам нужно определить наибольшее значение $n$, для которого $10!$ делится на $2^n$.

Шаг 1: Подсчет количества множителей 2 в факториале $10!$

Для этого мы будем использовать метод подсчета, основанный на делении на степени числа 2.

• Делим 10 на 2, получаем $\lfloor \frac{10}{2}\rfloor =5$. Это означает, что в числе 10 есть 5 чисел, которые делятся на 2 (это 2, 4, 6, 8, 10).
• Теперь делим 10 на 4, получаем $\lfloor \frac{10}{4}\rfloor =2$. Это означает, что в числе 10 есть 2 числа, которые делятся на 4 (это 4 и 8).
• Далее делим 10 на 8, получаем $\lfloor \frac{10}{8}\rfloor =1$. Это означает, что в числе 10 есть 1 число, которое делится на 8 (это 8).

Здесь остановимся, так как дальше делить не имеет смысла.

Шаг 2: Суммируем все множители

Итак, количество всех множителей 2, которые можно получить из чисел от 1 до 10:

$$5\text{ (от деления на 2)}+2\text{ (от деления на 4)}+1\text{ (от деления на 8)}=8$$

Ответ: $n=8$.

$\mathrm{<strong>б) </strong>}$$16!$ кратно $2^n$

Теперь нужно найти, сколько множителей 2 в разложении $16!$.

Шаг 1: Подсчет количества множителей 2 в факториале $16!$

• Делим 16 на 2, получаем $\lfloor \frac{16}{2}\rfloor =8$. Это означает, что в числе 16 есть 8 чисел, которые делятся на 2 (это 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16).
• Делим 16 на 4, получаем $\lfloor \frac{16}{4}\rfloor =4$. Это означает, что в числе 16 есть 4 числа, которые делятся на 4 (это 4, 8, 12, 16).
• Делим 16 на 8, получаем $\lfloor \frac{16}{8}\rfloor =2$. Это означает, что в числе 16 есть 2 числа, которые делятся на 8 (это 8 и 16).
• Делим 16 на 16, получаем $\lfloor \frac{16}{16}\rfloor =1$. Это означает, что в числе 16 есть 1 число, которое делится на 16 (это 16).

Шаг 2: Суммируем все множители

Теперь суммируем:

$$8\text{ (от деления на 2)}+4\text{ (от деления на 4)}+2\text{ (от деления на 8)}+$$

$$+1\text{ (от деления на 16)}=15$$

Ответ: $n=15$.

в) $26!$ кратно $5^n$

Теперь нужно найти, сколько множителей 5 в разложении $26!$.

Шаг 1: Подсчет количества множителей 5 в факториале $26!$

• Делим 26 на 5, получаем $\lfloor \frac{26}{5}\rfloor =5$. Это означает, что в числе 26 есть 5 чисел, которые делятся на 5 (это 5, 10, 15, 20, 25).
• Делим 26 на 25, получаем $\lfloor \frac{26}{25}\rfloor =1$. Это означает, что в числе 26 есть 1 число, которое делится на 25 (это 25).

Шаг 2: Суммируем все множители

Теперь суммируем:

$$5\text{ (от деления на 5)}+1\text{ (от деления на 25)}=6$$

Ответ: $n=6$.

г) $28!$ кратно $3^n$

Теперь нужно найти, сколько множителей 3 в разложении $28!$.

Шаг 1: Подсчет количества множителей 3 в факториале $28!$

• Делим 28 на 3, получаем $\lfloor \frac{28}{3}\rfloor =9$. Это означает, что в числе 28 есть 9 чисел, которые делятся на 3 (это 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27).
• Делим 28 на 9, получаем $\lfloor \frac{28}{9}\rfloor =3$. Это означает, что в числе 28 есть 3 числа, которые делятся на 9 (это 9, 18, 27).
• Делим 28 на 27, получаем $\lfloor \frac{28}{27}\rfloor =1$. Это означает, что в числе 28 есть 1 число, которое делится на 27 (это 27).

Шаг 2: Суммируем все множители

Теперь суммируем:

$$9\text{ (от деления на 3)}+3\text{ (от деления на 9)}+1\text{ (от деления на 27)}=13$$

Ответ: $n=13$.

Итоговые ответы:

1. $10!$ кратно $2^n$, $n=8$.
2. $16!$ кратно $2^n$, $n=15$.
3. $26!$ кратно $5^n$, $n=6$.
4. $28!$ кратно $3^n$, $n=13$.