ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $(n + 1)! — n! = n \cdot n!$;

б) $(2n + 1)! — (2n — 1)! \cdot 2n = 4n^2 \cdot (2n — 1)!$

а) $(n + 1)! — n! = n \cdot n!$;

$$(n + 1)(n + 1 — 1)! — n! = n \cdot n!;$$ $$(n + 1) \cdot n! — n! = n \cdot n!;$$ $$n \cdot n! + n! — n! = n \cdot n!;$$ $$n \cdot n! = n \cdot n!;$$

Тождество доказано.

б) $(2n + 1)! — (2n — 1)! \cdot 2n = 4n^2 \cdot (2n — 1)!$;

$$(2n + 1)(2n + 1 — 1)(2n + 1 — 2)! — (2n — 1)! \cdot 2n = 4n^2 \cdot (2n — 1)!;$$ $$(2n + 1) \cdot 2n \cdot (2n — 1)! — (2n — 1)! \cdot 2n = 4n^2 \cdot (2n — 1)!;$$ $$2n \cdot (2n — 1)! \cdot (2n + 1 — 1) = 4n^2 \cdot (2n — 1)!;$$ $$2n \cdot (2n — 1)! \cdot 2n = 4n^2 \cdot (2n — 1)!;$$ $$4n^2 \cdot (2n — 1)! = 4n^2 \cdot (2n — 1)!;$$

Тождество доказано.

а) $(n + 1)! — n! = n \cdot n!$

Наша цель — доказать тождество $(n + 1)! — n! = n \cdot n!$.

Исходное выражение:

$$(n + 1)! — n!$$

Для того чтобы упростить выражение, начнем с представления факториалов в их развернутой форме. Напоминаю, что $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$, это свойство факториала.

Подставим развернутую форму для $(n + 1)!$:

$$(n + 1)! — n! = (n + 1) \cdot n! — n!$$

Вынесем общий множитель $n!$:

$$(n + 1) \cdot n! — n! = n! \cdot \left( (n + 1) — 1 \right)$$

Упростим выражение в скобках:

$$n! \cdot \left( (n + 1) — 1 \right) = n! \cdot n$$

Теперь получаем окончательную форму:

$$n! \cdot n = n \cdot n!$$

Заключение:
Мы получили, что $(n + 1)! — n! = n \cdot n!$, что и требовалось доказать.

Тождество доказано.

б) $(2n + 1)! — (2n — 1)! \cdot 2n = 4n^2 \cdot (2n — 1)!$

Теперь давайте разберем более сложное тождество: $(2n + 1)! — (2n — 1)! \cdot 2n = 4n^2 \cdot (2n — 1)!$.

Исходное выражение:

$$(2n + 1)! — (2n — 1)! \cdot 2n$$

Как и в предыдущем случае, распишем факториалы. Из свойства факториалов мы знаем, что $(2n + 1)! = (2n + 1) \cdot (2n)!$.

Подставим развернутую форму для $(2n + 1)!$:

$$(2n + 1)! — (2n — 1)! \cdot 2n = (2n + 1) \cdot (2n)! — (2n — 1)! \cdot 2n$$

Теперь раскроем $(2n)!$. Заметим, что $(2n)! = (2n) \cdot (2n — 1)!$. Подставим это в выражение:

$$(2n + 1) \cdot (2n) \cdot (2n — 1)! — (2n — 1)! \cdot 2n$$

Вынесем общий множитель $(2n — 1)!$:

$$(2n — 1)! \cdot \left[ (2n + 1) \cdot (2n) — 2n \right]$$

Упростим выражение в скобках:

$$(2n + 1) \cdot (2n) — 2n = 2n \cdot (2n + 1 — 1) = 2n \cdot 2n = 4n^2$$

Подставляем полученное выражение:

$$(2n — 1)! \cdot 4n^2$$

Получаем окончательную форму:

$$4n^2 \cdot (2n — 1)!$$

Заключение:
Мы пришли к выражению, которое точно совпадает с правой частью тождества. Таким образом, тождество доказано.

Тождество доказано.