ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $n! = 42(n-2)!$;

б) $(k+17)! = 420(k+15)!$;

в) $0,125n! = (n-1)! — 90$;

г) $(3x)! = 504(3x-3)!$

Решением может являться только натуральное число;

а) $n! = 42(n-2)!$;

$n(n-1)(n-2)! = 42(n-2)!$;

$n(n-1) = 42$;

$n^2 — n — 42 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 42 = 1 + 168 = 169$, тогда:

$n_1 = \frac{1 — 13}{2} = -6$ и $n_2 = \frac{1 + 13}{2} = 7$;

Ответ: $n = 7$.

б) $(k+17)! = 420(k+15)!$;

$(k+17)(k+16)(k+15)! = 420(k+15)!$;

$(k+17)(k+16) = 420$;

$k^2 + 16k + 17k + 272 — 420 = 0$;

$k^2 + 33k — 148 = 0$;

$D = 33^2 + 4 \cdot 148 = 1089 + 592 = 1681$, тогда:

$n_1 = \frac{-33 — 41}{2} = -37$ и $n_2 = \frac{-33 + 41}{2} = 4$;

Ответ: $n = 4$.

в) $0,125n! = (n-1)! — 90$;

$\frac{1}{8} \cdot n(n-1)! = (n-1)! — 90$;

$n(n-1)! = 8(n-1)! — 720$;

$8(n-1)! — n(n-1)! = 720$;

$(n-1)!(8-n) = 720$;

$$\begin{cases} n-1 > 0 \\ 8-n > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} n > 1 \\ n < 8 \end{cases}$$

Ответ: $n = 7$.

г) $(3x)! = 504(3x-3)!$;

$3x(3x-1)(3x-2)(3x-3)! = 504(3x-3)!$;

$3x(3x-1)(3x-2) = 504$;

$3x(3x-1)(3x-2) = 9 \cdot 8 \cdot 7$;

$3x = 9$, отсюда $x = 3$;

Ответ: $x = 3$.

Задача а)

Условие:

$$n! = 42(n-2)!$$

Шаг 1. Разделим обе части равенства на $(n-2)!$ (при условии, что $n \geq 2$):

$$\frac{n!}{(n-2)!} = 42$$

Шаг 2. Используем свойство факториала: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$. Таким образом, $\frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)$:

$$n(n-1) = 42$$

Шаг 3. Преобразуем уравнение:

$$n^2 — n = 42$$

Шаг 4. Переносим 42 в левую часть:

$$n^2 — n — 42 = 0$$

Шаг 5. Решаем это квадратное уравнение по формуле:

$$n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 — 4(1)(-42)}}{2(1)}$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$

Теперь находим корни:

$$n_1 = \frac{1 — 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ $$n_2 = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Шаг 6. Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, то мы выбираем корень $n = 7$.

Ответ: $n = 7$.

Задача б)

Условие:

$$(k+17)! = 420(k+15)!$$

Шаг 1. Разделим обе части на $(k+15)!$:

$$\frac{(k+17)!}{(k+15)!} = 420$$

Шаг 2. Используем свойство факториала: $(k+17)! = (k+17)(k+16)(k+15)!$, тогда:

$$(k+17)(k+16) = 420$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$k^2 + 16k + 17k + 272 = 420$$

Шаг 4. Упростим выражение:

$$k^2 + 33k + 272 = 420$$

Шаг 5. Переносим 420 в левую часть:

$$k^2 + 33k — 148 = 0$$

Шаг 6. Решаем это квадратное уравнение по формуле:

$$k = \frac{-33 \pm \sqrt{33^2 — 4(1)(-148)}}{2(1)}$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D = 33^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-148) = 1089 + 592 = 1681$$

Теперь находим корни:

$$k_1 = \frac{-33 — 41}{2} = \frac{-74}{2} = -37$$ $$k_2 = \frac{-33 + 41}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Шаг 7. Поскольку $k$ должно быть натуральным числом, то мы выбираем корень $k = 4$.

Ответ: $k = 4$.

Задача в)

Условие:

$$0,125n! = (n-1)! — 90$$

Шаг 1. Запишем $0,125 = \frac{1}{8}$, тогда уравнение становится:

$$\frac{1}{8} \cdot n(n-1)! = (n-1)! — 90$$

Шаг 2. Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от дроби:

$$n(n-1)! = 8(n-1)! — 720$$

Шаг 3. Переносим все выражения на одну сторону:

$$8(n-1)! — n(n-1)! = 720$$

Шаг 4. Вынесем $(n-1)!$ за скобки:

$$(n-1)! \left( 8 — n \right) = 720$$

Шаг 5. Рассмотрим ограничения на $n$. Так как $(n-1)!$ — это факториал, он положителен при $n \geq 1$, и из условия $8 — n > 0$ имеем $n < 8$. Также $n — 1 > 0$, то есть $n > 1$. Таким образом, $n \in [2, 7]$.

Шаг 6. Теперь подставляем различные значения $n$ в уравнение:

• Для $n = 7$:

$$(7-1)! (8-7) = 720$$ $$6! \cdot 1 = 720$$ $$720 = 720$$

Значение $n = 7$ подходит.

Ответ: $n = 7$.

Задача г)

Условие:

$$(3x)! = 504(3x-3)!$$

Шаг 1. Разделим обе части на $(3x-3)!$:

$$\frac{(3x)!}{(3x-3)!} = 504$$

Шаг 2. Используем свойство факториала: $(3x)! = (3x)(3x-1)(3x-2)(3x-3)!$, тогда:

$$(3x)(3x-1)(3x-2) = 504$$

Шаг 3. Разделим 504 на множители:

$$504 = 9 \cdot 8 \cdot 7$$

Таким образом, уравнение становится:

$$(3x)(3x-1)(3x-2) = 9 \cdot 8 \cdot 7$$

Шаг 4. Вижу, что $3x = 9$, так как произведение 9, 8 и 7 соответствует порядку чисел $3x, 3x-1, 3x-2$. Следовательно:

$$3x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Ответ: $x = 3$.