ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких натуральных значениях п выполняется неравенство:

а) $n! > (n+1)(n-2)!$;

б) $7 \cdot (2n+1)! \cdot (2n-1)! < 8 \cdot ((2n)!)^2$

В выражении $n!$ число $n$ всегда является натуральным;

а) $n! > (n+1)(n-2)!$;

$n(n-1)(n-2)! > (n+1)(n-2)!$;

$n(n-1) > n+1$;

$n^2 — n — n — 1 > 0$;

$n^2 — 2n — 1 > 0$;

$D = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$, тогда:

$n = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$;

$(n-1+\sqrt{2})(n-1-\sqrt{2}) > 0$;

$n < 1-\sqrt{2}$ или $n > 1+\sqrt{2}$;

Ответ: $n \geq 3$.

б) $7 \cdot (2n+1)! \cdot (2n-1)! < 8 \cdot ((2n)!)^2$;

$7(2n+1) \cdot (2n)! \cdot \frac{(2n)!}{2n} < 8 \cdot ((2n)!)^2$;

$\frac{7(2n+1)}{2n} < 8$;

$14n + 7 < 16n$;

$7 < 2n$, отсюда $n > 3,5$;

Ответ: $n \geq 4$.

Часть а)

Необходимо доказать неравенство:

$$n! > (n+1)(n-2)!$$

Шаг 1: Раскрываем факториалы

Мы знаем, что факториал $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$, то есть:

$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1$$

Также, $(n-2)!$ — это произведение всех чисел от 1 до $(n-2)$, то есть:

$$(n-2)! = (n-2) \cdot (n-3) \cdot \ldots \cdot 1$$

Теперь перепишем неравенство, исходя из этого:

$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$$

Тогда выражение $n! > (n+1)(n-2)!$ можно записать как:

$$n \cdot (n-1) \cdot (n-2)! > (n+1)(n-2)!$$

Шаг 2: Делим обе части на $(n-2)!$

Так как $(n-2)! > 0$ для всех $n \geq 2$, можем безопасно поделить обе части неравенства на $(n-2)!$, и получим:

$$n \cdot (n-1) > n+1$$

Шаг 3: Преобразуем полученное неравенство

Теперь у нас неравенство:

$$n \cdot (n-1) > n + 1$$

Раскроем скобки с левой стороны:

$$n^2 — n > n + 1$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$n^2 — n — n — 1 > 0$$

Упрощаем:

$$n^2 — 2n — 1 > 0$$

Шаг 4: Находим корни квадратного уравнения

Для решения неравенства $n^2 — 2n — 1 > 0$, найдем дискриминант квадратного уравнения $n^2 — 2n — 1 = 0$. Дискриминант рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -2$, $c = -1$. Подставим значения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$

Теперь находим корни уравнения:

$$n = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$$

Упростим:

$$n = 1 \pm \sqrt{2}$$

Шаг 5: Решаем неравенство

У нас два корня: $n = 1 + \sqrt{2}$ и $n = 1 — \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то:

$$n \approx 1 + 1.414 \approx 2.414$$ $$n \approx 1 — 1.414 \approx -0.414$$

Неравенство $n^2 — 2n — 1 > 0$ выполняется, когда $n < 1 — \sqrt{2}$ или $n > 1 + \sqrt{2}$.

Таким образом, $n \geq 3$ (так как $n$ должно быть натуральным числом).

Ответ для части а: $n \geq 3$.

Часть б)

Необходимо доказать неравенство:

$$7 \cdot (2n+1)! \cdot (2n-1)! < 8 \cdot ((2n)!)^2$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Запишем $(2n+1)!$ как $(2n+1)(2n)!$, а $(2n-1)!$ как $\frac{(2n)!}{2n}$. Тогда левая часть будет выглядеть так:

$$7 \cdot (2n+1)! \cdot (2n-1)! = 7 \cdot (2n+1) \cdot (2n)! \cdot \frac{(2n)!}{2n}$$

Теперь подставим это в исходное неравенство:

$$7 \cdot (2n+1) \cdot (2n)! \cdot \frac{(2n)!}{2n} < 8 \cdot ((2n)!)^2$$

Шаг 2: Упростим

Сократим $(2n)!$ в обеих частях неравенства:

$$7 \cdot (2n+1) \cdot \frac{(2n)!}{2n} < 8 \cdot (2n)!$$

Теперь разделим обе части на $(2n)!$:

$$7 \cdot \frac{(2n+1)}{2n} < 8$$

Шаг 3: Упростим выражение

Решаем неравенство:

$$\frac{7 \cdot (2n+1)}{2n} < 8$$

Умножаем обе части на $2n$:

$$7 \cdot (2n+1) < 16n$$

Раскрываем скобки:

$$14n + 7 < 16n$$

Переносим все на одну сторону:

$$7 < 2n$$

Теперь делим обе части на 2:

$$n > 3.5$$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \geq 4$.

Ответ для части б: $n \geq 4$.