ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

а) $n! > (n + 3)^2$ при $n \geq 5$;

б) $n! > (n+2)^3$ при $n \geq 6$;

в) $n! > 2^n$ при $n \geq 4$;

г) $n! > 4^n$ при $n \geq 9$

а) $n! > (n + 3)^2$ при $n \geq 5$;

Скорость изменения функций:

$$\Delta(n!) = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} = n+1;$$ $$\Delta(n+3)^2 = \frac{(n+1+3)^2}{(n+3)^2} = \left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2;$$

Левая часть растет быстрее при:

$$n+1 > \left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2;$$ $$(n+1)(n+3)^2 > (n+4)^2;$$ $$n \geq 1;$$

При $n = 5$ неравенство верно:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120;$$ $$(5+3)^2 = 8^2 = 64;$$

Неравенство доказано.

б) $n! > (n+2)^3$ при $n \geq 6$;

Скорость изменения функций:

$$\Delta(n!) = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} = n+1;$$ $$\Delta(n+2)^3 = \frac{(n+1+2)^3}{(n+2)^3} = \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^3;$$

Левая часть растет быстрее при:

$$n+1 > \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^3;$$ $$(n+1)(n+2)^3 > (n+3)^3;$$ $$n \geq 2;$$

При $n = 6$ неравенство верно:

$$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720;$$ $$(6+2)^3 = 8^3 = 512;$$

Неравенство доказано.

в) $n! > 2^n$ при $n \geq 4$;

Скорость изменения функций:

$$\Delta(n!) = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} = n+1;$$ $$\Delta(2^n) = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2;$$

Левая часть растет быстрее при:

$$n+1 > 2;$$ $$n > 1;$$

При $n = 4$ неравенство верно:

$$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24;$$ $$2^4 = 16;$$

Неравенство доказано.

г) $n! > 4^n$ при $n \geq 9$;

Скорость изменения функций:

$$\Delta(n!) = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} = n+1;$$ $$\Delta(4^n) = \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4;$$

Левая часть растет быстрее при:

$$n+1 > 4;$$ $$n > 3;$$

При $n = 9$ неравенство верно:

$$9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 362880;$$ $$4^9 = 262144;$$

Неравенство доказано.

а) $n! > (n + 3)^2$ при $n \geq 5$;

Скорость изменения функций:

Для анализа роста функций $n!$ и $(n+3)^2$ используем разницу значений между последовательными элементами каждой функции, т.е. рассмотрим $\Delta(n!)$ и $\Delta(n+3)^2$.

• Для $n!$:

  $$\Delta(n!) = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} = n+1.$$

  Это показывает, что факториал растет с каждым шагом на величину $n+1$.

• Для $(n+3)^2$:

  $$\Delta(n+3)^2 = \frac{(n+1+3)^2}{(n+3)^2} = \left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2.$$

  Это выражение показывает, насколько меняется квадрат числа $(n+3)$ при увеличении $n$. Мы видим, что на каждом шаге рост квадрата будет меньше, чем линейный рост факториала.

Нахождение условия, при котором левая часть растет быстрее:

Нам нужно найти, при каком $n$ левая часть $n!$ растет быстрее, чем правая $(n+3)^2$. Для этого сравниваем $n+1$ и $\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2$.

• Сравниваем:

  $$n+1 > \left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2.$$

• Раскроем правую часть:

  $$\left(\frac{n+4}{n+3}\right)^2 = \frac{(n+4)^2}{(n+3)^2}.$$

Теперь умножим обе части неравенства на $(n+3)^2$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$(n+1)(n+3)^2 > (n+4)^2.$$

• Раскроем скобки:

  $$(n+1)(n^2 + 6n + 9) > n^2 + 8n + 16.$$

• Умножим $(n+1)$ на выражение:

  $$n^3 + 6n^2 + 9n + n^2 + 6n + 9 > n^2 + 8n + 16.$$ $$n^3 + 7n^2 + 15n + 9 > n^2 + 8n + 16.$$

• Переносим все на одну сторону:

  $$n^3 + 6n^2 + 7n — 7 > 0.$$

Это неравенство верно при $n \geq 1$.

Проверка при $n = 5$:

Подставим $n = 5$ в исходное неравенство:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120,$$ $$(5+3)^2 = 8^2 = 64.$$

Действительно, $120 > 64$, что доказывает неравенство для $n = 5$.

б) $n! > (n+2)^3$ при $n \geq 6$;

Скорость изменения функций:

• Для $n!$:

  $$\Delta(n!) = \frac{(n+1)!}{n!} = n+1.$$

  Это то же самое, что и в предыдущем случае, факториал растет на $n+1$ при увеличении $n$.

• Для $(n+2)^3$:

  $$\Delta(n+2)^3 = \frac{(n+1+2)^3}{(n+2)^3} = \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^3.$$

  Это выражение показывает, на сколько изменяется куб числа $(n+2)$, и рост будет медленнее, чем у факториала.

Нахождение условия, при котором левая часть растет быстрее:

Сравним:

$$n+1 > \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^3.$$

Раскроем правую часть:

$$\left(\frac{n+3}{n+2}\right)^3 = \frac{(n+3)^3}{(n+2)^3}.$$

Умножаем обе части на $(n+2)^3$:

$$(n+1)(n+2)^3 > (n+3)^3.$$

Раскроем скобки:

$$(n+1)(n^3 + 6n^2 + 12n + 8) > n^3 + 9n^2 + 27n + 27.$$

Умножим $(n+1)$:

$$n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 8n + n^3 + 6n^2 + 12n + 8 > n^3 + 9n^2 + 27n + 27.$$ $$n^4 + 7n^3 + 18n^2 + 20n + 8 > n^3 + 9n^2 + 27n + 27.$$

Переносим все на одну сторону:

$$n^4 + 6n^3 + 9n^2 — 7n — 19 > 0.$$

Это выражение верно при $n \geq 2$.

Проверка при $n = 6$:

Подставим $n = 6$:

$$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720,$$ $$(6+2)^3 = 8^3 = 512.$$

Мы видим, что $720 > 512$, следовательно, неравенство верно при $n = 6$.

в) $n! > 2^n$ при $n \geq 4$;

Скорость изменения функций:

• Для $n!$:

  $$\Delta(n!) = \frac{(n+1)!}{n!} = n+1.$$

• Для $2^n$:

  $$\Delta(2^n) = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2.$$

Нахождение условия, при котором левая часть растет быстрее:

Сравниваем:

$$n+1 > 2.$$

Это условие верно при $n > 1$.

Проверка при $n = 4$:

Подставим $n = 4$:

$$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24,$$ $$2^4 = 16.$$

Мы видим, что $24 > 16$, следовательно, неравенство верно при $n = 4$.

г) $n! > 4^n$ при $n \geq 9$;

Скорость изменения функций:

• Для $n!$:

  $$\Delta(n!) = \frac{(n+1)!}{n!} = n+1.$$

• Для $4^n$:

  $$\Delta(4^n) = \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4.$$

Нахождение условия, при котором левая часть растет быстрее:

Сравниваем:

$$n+1 > 4.$$

Это условие верно при $n > 3$.

Проверка при $n = 9$:

Подставим $n = 9$:

$$9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 362880,$$ $$4^9 = 262144.$$

Мы видим, что $362880 > 262144$, следовательно, неравенство верно при $n = 9$.