ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

а) $2,66 < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}$ при $n \geq 3$;

б) $\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \cdots + \frac{1}{2^n} < 0,125$ при $n \geq 4$;

в) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < 3$ при всех $n$ (используйте пункт б) и номер 47.18 в));

г) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < 2,75$ при всех $n$

а) $2,66 < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}$ при $n \geq 3$;

Число $n$ натуральное, значит правая часть неравенства увеличивается:

$$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = 2 + \frac{3+1}{6} = 2 + \frac{2}{3} = 2,(6) > 2,66;$$

Неравенство доказано.

б) $\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \cdots + \frac{1}{2^n} < 0,125$ при $n \geq 4$;

Для левой части неравенства имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \quad \text{и} \quad q = \frac{1}{2^5} : \frac{1}{2^4} = \frac{2^4}{2^5} = \frac{1}{2};$$ $$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{16}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16} : \frac{1}{2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0,125;$$

Неравенство доказано.

в) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < 3$ при всех $n$;

В предыдущей задаче было доказано, что $n! > 2^n$ при $n \geq 4$, значит:

$$\frac{1}{n!} < \frac{1}{2^n};$$ $$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \cdots \frac{1}{2^n} \right);$$ $$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < \left( 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} + \cdots \frac{1}{2^n} \right) = 2 \frac{2}{3} + \frac{1}{8} < 3;$$

Неравенство доказано.

г) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < 2,75$ при всех $n$;

В предыдущей задаче было доказано, что $n! > 2^n$ при $n \geq 4$, значит:

$$\frac{1}{n!} < \frac{1}{2^n};$$ $$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} \right) + \left( \frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^7} + \cdots \frac{1}{2^n} \right);$$

Для второго слагаемого имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \quad \text{и} \quad q = \frac{1}{2^7} : \frac{1}{2^6} = \frac{2^6}{2^7} = \frac{1}{2};$$ $$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{64}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{64} : \frac{1}{2} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32};$$

Получаем неравенство:

$$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < \frac{163}{60} + \frac{1}{32} \approx 2,74 < 2,75;$$

Неравенство доказано.

а) $2,66 < 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}$ при $n \geq 3$;

1) Анализ правой части неравенства:

Правая часть неравенства представляет собой частичную сумму ряда, который является разложением экспоненты $e$. Этот ряд выглядит так:

$$S_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}.$$

Мы знаем, что этот ряд является возрастающим для всех натуральных $n$, так как каждый последующий член $\frac{1}{k!}$ (для $k > 2$) добавляет все меньшие положительные значения.

2) Проверка для $n = 3$:

Теперь подставим $n = 3$ в частичную сумму ряда и посчитаем её:

$$S_3 = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}.$$

Выполним вычисления для каждого члена:

$$1! = 1, \quad 2! = 2, \quad 3! = 6.$$

Таким образом, получаем:

$$S_3 = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667.$$

Теперь сложим эти числа:

$$S_3 = 2 + 0.5 + 0.1667 = 2.6667.$$

Таким образом, для $n = 3$ правая часть суммы $S_3$ составляет:

$$S_3 \approx 2.6667.$$

3) Сравнение с 2.66:

Теперь видим, что:

$$S_3 \approx 2.6667 > 2.66.$$

Это подтверждает, что неравенство выполняется для $n = 3$.

4) Заключение:

Так как правая часть суммы возрастает с увеличением $n$, и для $n = 3$ она уже больше 2.66, неравенство выполняется для всех $n \geq 3$. Таким образом, неравенство доказано.

б) $\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \cdots + \frac{1}{2^n} < 0,125$ при $n \geq 4$;

1) Формулировка задачи:

Мы рассматриваем сумму членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = \frac{1}{2^4}$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$, так как каждый следующий член прогрессии получается умножением на $\frac{1}{2}$.

2) Формула суммы геометрической прогрессии:

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q}.$$

Где $q \neq 1$. В нашем случае:

• $b_1 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$,
• $q = \frac{1}{2}$.

3) Вычисление суммы прогрессии:

Теперь можем выразить сумму от $b_1$ до $b_n$:

$$S_n = \frac{\frac{1}{16}(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^{n-4})}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{16}(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^{n-4})}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{16} \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^{n-4}\right).$$

Упростим:

$$S_n = \frac{1}{8} \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^{n-4}\right).$$

4) Условие для неравенства:

Нам нужно, чтобы:

$$S_n < 0.125.$$

Положим, что $n \geq 4$, и рассмотрим, как ведет себя выражение при различных $n$. Мы видим, что когда $n \geq 4$, то $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-4}$ будет очень малым, и сумма будет стремиться к:

$$S_n = \frac{1}{8} \cdot (1 — 0) = \frac{1}{8} = 0.125.$$

Таким образом, неравенство выполняется, так как сумма всегда будет меньше 0.125 для $n \geq 4$.

в) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < 3$ при всех $n$;

1) Разложение на две части:

Мы можем разложить левую часть на две суммы:

$$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \cdots + \frac{1}{2^n} \right).$$

2) Проверка для первой части:

Для первой части:

$$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 = 2.6667.$$

3) Проверка для второй части:

Теперь рассматриваем вторую часть суммы, которая является суммой членов геометрической прогрессии, как в предыдущем пункте. Эта сумма будет стремиться к $0.125$, так как:

$$\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \cdots + \frac{1}{2^n} < 0.125.$$

4) Итог:

Теперь сложим две части:

$$2.6667 + 0.125 = 2.7917.$$

Таким образом:

$$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < 3.$$

Неравенство доказано.

г) $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < 2,75$ при всех $n$;

1) Разложение на две части:

Как и в предыдущем пункте, разложим сумму на две части:

$$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} < \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{5!} \right) + \left( \frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^7} + \cdots + \frac{1}{2^n} \right).$$

2) Проверка для первой части:

Считаем первую часть:

$$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 = 2.7167.$$

3) Проверка для второй части:

Для второй части применяем геометрическую прогрессию с первым членом $\frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$ и знаменателем $\frac{1}{2}$, как и раньше. Сумма прогрессии:

$$S = \frac{1/64}{1 — 1/2} = \frac{1}{32}.$$

4) Итог:

Теперь сложим:

$$2.7167 + 0.03125 \approx 2.7479 < 2.75.$$

Таким образом, неравенство доказано.