ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

У мамы и папы — один сын. К ним в гости пришла другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если:

a) место хозяина дома неприкосновенно;

б) первыми садятся дети, и они садятся рядом;

в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом;

г) жены садятся рядом со своими мужьями?

Рассаживаются две семейные пары и двое детей на шесть мест;

а) Место хозяина дома неприкосновенно:
$n = 6 — 1 = 5 \quad \text{— остается мест и людей};$
$P_n = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120;$

б) Первыми садятся дети, и они садятся рядом:
$n = 6 — 2 = 4 \quad \text{— остается мест и людей};$
$A_1 = 6 \cdot 2 = 12 \quad \text{— вариантов рассадки детей};$
$P_n = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \quad \text{— вариантов рассадки взрослых};$
$A = A_1 \cdot P = 12 \cdot 24 = 288;$

в) Первыми садятся дети, но не рядом друг с другом:
$n = 6 — 2 = 4 \quad \text{— остается мест и людей};$
$A_1 = 6 \cdot 3 = 18 \quad \text{— вариантов рассадки детей};$
$P_n = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \quad \text{— вариантов рассадки взрослых};$
$A = A_1 \cdot P = 18 \cdot 24 = 432;$

г) Жены садятся рядом с мужьями:
$n = 6 — 2 — 2 = 2 \quad \text{— остается мест и людей};$
$A_1 = 6 \cdot 2 = 12 \quad \text{— вариантов рассадки первой пары};$
$A_2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 6 \quad \text{— вариантов рассадки второй пары};$
$P_n = n! = 2! = 2 \cdot 1 = 2 \quad \text{— вариантов рассадки детей};$
$A = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3 = 12 \cdot 6 \cdot 2 = 144;$

Ответ: а) 120; б) 288; в) 432; г) 144.

У нас есть 6 мест за круглым столом, которые должны занять:

• 2 семейные пары (муж и жена первой семьи, муж и жена второй семьи);
• 2 детей.

Обозначения:

• $A_1, A_2, \dots$ — количество вариантов рассадки для каждого условия.
• $P_n$ — количество вариантов рассадки для оставшихся людей после того, как некоторые из них уже заняли места.

а) Место хозяина дома неприкосновенно

Условие: место одного из хозяев (пусть это будет один из родителей первой семьи) фиксировано, то есть это место не меняется.

• Стол круглый, поэтому для определения количества вариантов рассадки важно учесть, что если мы зафиксировали место одного человека, то остальные могут располагаться на оставшихся местах.
• Всего у нас есть 6 мест, но одно уже занято хозяином. Значит, остается 5 мест для 5 оставшихся людей.

Количество способов рассадить оставшихся 5 человек на 5 местах:

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

Ответ для а): 120.

б) Первыми садятся дети, и они садятся рядом

Условие: дети садятся первыми и должны сидеть рядом. Дети — это сын первой семьи и дочь второй семьи.

• Рассаживаем детей на 2 соседних места. Поскольку стол круглый, у нас есть 6 мест, но так как дети сидят рядом, их можно рассадить на 6 различных парах мест.
• Для каждой пары мест у нас есть 2 варианта: либо сын сидит слева от дочери, либо справа от неё.

Таким образом, количество способов разместить детей на двух соседних местах будет:

$$A_1 = 6 \times 2 = 12$$

После того как дети заняли свои места, остаются 4 места для взрослых (мама и папа первой семьи, мама и папа второй семьи). Для рассадки этих 4 людей у нас есть:

$$P_n = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

Итак, общее количество способов рассадить людей:

$$A = A_1 \times P_n = 12 \times 24 = 288$$

Ответ для б): 288.

в) Первыми садятся дети, но не рядом друг с другом

Условие: дети садятся первыми, но не рядом. Это значит, что дети занимают два места, но не могут сидеть рядом.

• Сначала определим, сколько вариантов есть для рассадки детей. Для того чтобы дети не сидели рядом, нужно выбрать 2 места, которые не расположены рядом.
• Для этого на круглом столе существует 6 мест. Мы должны выбрать 2 из них, и важно, чтобы они не стояли рядом.

Для этого выбираем 2 места, которые не рядом. На круглом столе существует 6 мест, и чтобы дети не сидели рядом, мы исключаем те варианты, когда они сидят рядом. Число способов разместить детей в 2 местах из 6, но не рядом, будет:

$$A_1 = 6 \times 3 = 18$$

Дальше, оставшиеся 4 места занимают взрослые. Для их рассадки остается:

$$P_n = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

Итак, общее количество способов рассадить людей:

$$A = A_1 \times P_n = 18 \times 24 = 432$$

Ответ для в): 432.

г) Жены садятся рядом с мужьями

Условие: жены должны сидеть рядом со своими мужьями.

• Разбиваем задачу на два этапа:
  • Мы можем рассматривать каждую пару (муж и жена) как единицу, потому что они должны сидеть рядом.
  • Нужно рассадить эти две пары и детей.

Сначала разместим две семейные пары. На круглом столе есть 6 мест. Мы выбираем 2 места для первой пары, которая будет сидеть рядом.

Количество способов рассадить первую пару:

$$A_1 = 6 \times 2 = 12$$

Для второй пары есть 2 варианта размещения, поскольку в зависимости от того, где сидит первая пара, для второй пары остаются два возможных варианта:

$$A_2 = 2 \times 1 + 2 \times 2 = 6$$

Теперь рассаживаем детей на оставшиеся 2 места. Для детей есть 2 возможных порядка размещения:

$$P_n = 2! = 2$$

Итак, общее количество способов рассадить людей:

$$A = A_1 \times A_2 \times P_n = 12 \times 6 \times 2 = 144$$

Ответ для г): 144.

Итоговые ответы:

а) 120

б) 288

в) 432

г) 144