ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) В каждом из двух заплывов по шести дорожкам участвует по 6 пловцов. Дорожки между пловцами в каждом заплыве разыгрываются по жребию. Найдите число всех возможных распределений пловцов по дорожкам.

б) То же, но если в каждом заплыве один из пловцов — победитель отборочных соревнований — плывет по четвертой дорожке.

в) То же, но если во втором заплыве участвуют 5 пловцов.

г) То же, но если в обоих заплывах участвует по 4 пловца.

Шесть пловцов участвуют в двух заплывах на шести дорожках;

а) Всего вариантов распределения пловцов по дорожкам:
$A = P_n \cdot P_n = 6! \cdot 6! = (6!)^2;$

б) Всего вариантов, если один из пловцов плывет по 4-ой дорожке:
$n = 6 — 1 = 5 — \text{остается дорожек и пловцов};$
$A = P_n \cdot P_n = 5! \cdot 5! = (5!)^2;$

в) Всего вариантов, если во втором заплыве участвуют пять пловцов:
$P_n = n! = 6! — \text{вариантов распределения в первом заплыве};$
$A_1 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 6! — \text{вариантов распределения во втором заплыве};$
$A = P_n \cdot A_1 = 6! \cdot 6! = (6!)^2;$

г) Всего вариантов, если в заплывах участвуют по четыре пловца:
$A_1 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 — \text{вариантов распределения в каждом заплыве};$
$A = A_1 \cdot A_1 = (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3)^2;$

Ответ: а) $(6!)^2$; б) $(5!)^2$; в) $(6!)^2$; г) $(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3)^2$.

а) Число всех возможных распределений пловцов по дорожкам в двух заплывах

В каждом из двух заплывов участвуют по 6 пловцов, и каждый из них занимает одну из 6 дорожек. Заплывы независимы друг от друга, то есть распределение пловцов по дорожкам в одном заплыве не зависит от распределения в другом.

Так как в каждом заплыве 6 пловцов и 6 дорожек, то для распределения пловцов по дорожкам в одном заплыве существует $6!$ способов (перестановка 6 элементов). Поскольку заплывы независимы, для двух заплывов число всех возможных распределений пловцов будет равно:

$$A = 6! \cdot 6! = (6!)^2$$

Ответ для пункта (а): $(6!)^2$.

б) Число всех возможных распределений пловцов по дорожкам, если один из пловцов плывет по четвертой дорожке

В этом случае один из пловцов (победитель отборочных соревнований) уже заранее занимает 4-ю дорожку. Таким образом, нам нужно распределить оставшихся 5 пловцов по оставшимся 5 дорожкам. В одном заплыве для распределения 5 пловцов по 5 дорожкам существует $5!$ вариантов. Поскольку для двух заплывов данное условие выполняется, то общее количество вариантов для двух заплывов будет:

$$A = 5! \cdot 5! = (5!)^2$$

Ответ для пункта (б): $(5!)^2$.

в) Число всех возможных распределений пловцов по дорожкам, если во втором заплыве участвуют 5 пловцов

В первом заплыве участвуют все 6 пловцов, и их можно распределить по 6 дорожкам, что дается количеством $6!$ вариантов. Во втором заплыве участвуют только 5 пловцов, поэтому для распределения этих 5 пловцов по 6 дорожкам (одну из которых остаётся пустой) существует число вариантов, равное $P_6^5$ — это количество размещений 5 пловцов на 6 дорожках:

$$P_6^5 = \frac{6!}{(6 — 5)!} = 6! / 1! = 6!$$

Итак, общее количество вариантов для двух заплывов будет равно:

$$A = 6! \cdot 6! = (6!)^2$$

Ответ для пункта (в): $(6!)^2$.

г) Число всех возможных распределений пловцов по дорожкам, если в каждом заплыве участвуют по 4 пловца

В каждом из двух заплывов участвуют 4 пловца, которые должны занять 6 дорожек. Таким образом, для распределения 4 пловцов по 6 дорожкам (в данном случае это будет размещение, а не перестановка) существует $P_6^4$ вариантов, что дает:

$$P_6^4 = \frac{6!}{(6 — 4)!} = \frac{6!}{2!}$$

Для одного заплыва количество вариантов составит:

$$P_6^4 = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$$

Для двух заплывов, учитывая, что в каждом заплыве существует $P_6^4$ вариантов, общее количество будет равно:

$$A = (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3)^2$$

Ответ для пункта (г): $(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3)^2$.

Итоговые ответы:

а) $(6!)^2$

б) $(5!)^2$

в) $(6!)^2$

г) $(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3)^2$