ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Две команды по 5 шахматистов проводят матч из пяти одновременно проходящих партий, в каждой из которых встречаются по одному из шахматистов каждой команды.

a) Найдите число всех возможных распределений встреч в матче.

б) То же, но для двух, независимо проводимых матчей.

в) То же, но если во втором матче участвует только по тра лучших шахматиста из каждой команды.

г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой.

Две команды по пять шахматистов проводят матч:

а) Всего вариантов распределений встреч:
$A = P_n = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120;$

б) Всего вариантов встреч для двух независимых матчей:
$A = P_n \cdot P_n = 5! \cdot 5! = (5!)^2 = (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2)^2 = 120^2 = 144\,000;$

в) Всего вариантов встреч для двух матчей, если во втором матче играют только по три лучших шахматиста из каждой команды:
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 — \text{вариантов встреч для первого матча};$
$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 = 6 — \text{вариантов встреч для второго матча};$
$A = P_5 \cdot P_3 = 120 \cdot 6 = 720;$

г) Всего вариантов встреч для двух матчей, если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой:
$n = 5 — 1 = 4 — \text{остается людей в каждой команде во втором матче};$
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 — \text{вариантов встреч для первого матча};$
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 — \text{вариантов встреч для второго матча};$
$A = 120 \cdot 24 = 2880;$

Ответ: а) 120; б) 14400; в) 720; г) 2880.

Условия задачи:

• У нас две команды, каждая из которых состоит из 5 шахматистов.
• Каждая команда играет 5 партий, причем в каждой партии встречаются по одному шахматисту от каждой команды.

Задача состоит в нахождении всех возможных распределений встреч для разных условий. В разных пунктах задачи будут изменяться правила того, как именно выбираются шахматисты для встреч.

Пункт а) Найдите число всех возможных распределений встреч в матче.

В этом случае мы предполагаем, что встречаются все 5 шахматистов каждой команды, и для каждой партии нужно выбрать одного шахматиста из каждой команды.

Шаги решения:

1. Для каждой из 5 партий мы можем выбрать шахматиста для первой команды из 5 возможных, а для второй команды из 5 возможных. То есть для каждой партии существует 5 вариантов выбора шахматистов.
2. Поскольку всего проводится 5 партий, и для каждой партии выбор осуществляется независимо, общее количество вариантов будет равно произведению числа вариантов для каждой из партий.

Вычисление:

• Для первой партии — 5 возможных выборов шахматиста из первой команды и 5 возможных выбора из второй команды: $5 \times 5 = 25$ вариантов.
• Для второй партии аналогично: $5 \times 5 = 25$ вариантов.
• То же самое для всех остальных партий.

Так как партий 5, общее количество вариантов распределений всех встреч будет:

$$A = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.$$

Ответ: 120.

Пункт б) Найдите число всех возможных встреч для двух независимо проводимых матчей.

Здесь проводится два независимых матча, и для каждого из них необходимо посчитать число возможных встреч.

Шаги решения:

1. Для первого матча (как и в пункте а) ), нам нужно распределить шахматистов, и для каждой из 5 партий будет 5 вариантов для первого шахматиста и 5 вариантов для второго шахматиста. Таким образом, общее количество вариантов для первого матча — это $5! = 120$.
2. Точно так же для второго матча: поскольку второй матч независим от первого, количество вариантов для второго матча также равно $5! = 120$.

Теперь, поскольку матчи независимы, общее количество вариантов для двух матчей — это произведение вариантов для каждого матча:

$$A = 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14\,400.$$

Ответ: 14400.

Пункт в) Найдите число всех возможных встреч для двух матчей, если во втором матче участвуют только по три лучших шахматиста из каждой команды.

Здесь условия изменяются: во втором матче участвуют только три лучших шахматиста из каждой команды.

Шаги решения:

1. Для первого матча все остаются такими же, как в пункте а), то есть количество вариантов распределений будет равно $5! = 120$.
2. Для второго матча мы уже выбираем только 3 шахматистов из каждой команды, поэтому для второго матча число вариантов будет равно $3! = 6$, так как из 3 шахматистов каждой команды можно назначить 3 партии, а каждая партия может быть распределена по-разному.

Общее количество вариантов распределений будет равно произведению количества вариантов для первого и второго матчей:

$$A = 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720.$$

Ответ: 720.

Пункт г) Найдите число всех возможных встреч для двух матчей, если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой.

Здесь у нас еще одно ограничение: во втором матче капитаны команд обязаны играть между собой.

Шаги решения:

1. Для первого матча мы снова получаем $5! = 120$ вариантов распределений.
2. Во втором матче капитаны команд уже заранее распределены, то есть они будут играть между собой. Таким образом, для второго матча на капитанов у нас уже есть фиксированное распределение, а для остальных 4 шахматистов каждой команды остается 4 позиции для распределения. То есть для второго матча остается распределить 4 шахматистов, что можно сделать $4! = 24$ способами.

Общее количество вариантов распределений для двух матчей с учетом этого условия будет:

$$A = 5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880.$$

Ответ: 2880.

Итоговый ответ:

а) 120;
б) 14400;
в) 720;
г) 2880.