ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Одинаковый текст приглашения напечатан на семи разных открытках. Их надо разослать директорам семи разных школ.

a) Найдите число всех возможных рассылок приглашений.

б) То же, что и в пункте a), но если самую красивую открытку послать директору школы № 1.

в) То же, что и в пункте a), но если в трех каких-либо приглашениях надо дописать и приглашения завучам по учебной работе.

г) То же, что и в пункте в), но если надо пригласить еще трех завучей по воспитательной работе из трех других школ.

Семь приглашений рассылают директорам семи школ;

а) Всего вариантов возможных рассылок приглашений:
$P_n=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5040;$

б) Всего возможных вариантов, если директору первой школы посылать самую красивую открытку:
$n=7-1=6\text{ — остается открыток и директоров};$
$P_n=6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=720;$

в) Всего вариантов, если в три школы надо разослать дополнительные приглашения для заместителей:
$P_7=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5040\text{ — вариантов рассылки директорам};$
$P_3=3!=3\cdot 2=6\text{ — вариантов рассылки заместителям};$
$A=P_7\cdot P_3=5040\cdot 6=30240;$

г) Всего вариантов, если в три школы надо разослать дополнительные приглашения для заместителей и в четыре школы — для директоров по воспитательной работе:
$P_7=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5040\text{ — вариантов рассылки директорам};$
$P_3=3!=3\cdot 2=6\text{ — вариантов рассылки заместителям};$
$P_4=4!=4\cdot 3\cdot 2=24\text{ — вариантов рассылки дир. по воспитательной работе};$
$A=P_7\cdot P_3\cdot P_4=5040\cdot 6\cdot 24=725760;$

Ответ: а) 5040; б) 720; в) 30 240; г) 725 760.

Одинаковый текст приглашения напечатан на семи разных открытках, и их нужно разослать директорам семи разных школ. Мы будем рассматривать различные сценарии рассылки этих открыток и вычислять количество возможных вариантов для каждого случая.

а) Число всех возможных рассылок приглашений

У нас есть 7 различных открыток, и эти открытки нужно разослать 7 директорам различных школ. Это задача на перестановки, так как каждая открытка идет конкретному директору, и каждый директор получает одну открытку.

Как решается:

• Для первой открытки мы можем выбрать одного из 7 директоров.
• Для второй открытки — одного из оставшихся 6 директоров.
• Для третьей открытки — одного из оставшихся 5 директоров.
• И так далее, пока не останется последнего директора.

Таким образом, количество вариантов рассылки открытых приглашений будет равно количеству всех перестановок 7 объектов, то есть $7!$.

Вычислим:

$$7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040$$

Ответ для пункта а):
Число всех возможных рассылок равно 5040.

б) Число всех возможных рассылок, если самую красивую открытку послать директору школы № 1

Здесь условие изменяется: самую красивую открытку мы обязаны послать директору школы № 1. Это означает, что для директора школы № 1 вариант открытки фиксирован — это самая красивая.

Теперь задача сводится к тому, чтобы разослать оставшиеся 6 открыток (которые не самые красивые) оставшимся 6 директорам (кроме директора школы № 1).

Как решается:

• Для оставшихся 6 открыток существует $6!$ вариантов рассылки, так как для каждой из 6 открыток мы можем выбрать одного из оставшихся 6 директоров.

Вычислим:

$$6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$$

Ответ для пункта б):
Число всех возможных рассылок, если самую красивую открытку послать директору школы № 1, равно 720.

в) Число всех возможных рассылок, если в трех каких-либо приглашениях надо дописать приглашения завучам по учебной работе

Теперь усложним задачу: нам нужно разослать не только приглашения для директоров, но и добавочные приглашения для заместителей (завучей) по учебной работе. То есть три из семи школ получат дополнительные приглашения для завучей по учебной работе.

Как решается:

• Сначала выберем 3 школы, которым нужно отправить дополнительные приглашения для заместителей. Это можно сделать с помощью сочетаний, так как нам нужно выбрать 3 школы из 7. Количество способов выбрать 3 школы из 7 равно $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)$, что рассчитывается как:

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35$$

• Затем, для каждой из выбранных школ мы добавляем одно дополнительное приглашение для завуча. Для этих трех школ, где нужно отправить дополнительные приглашения, мы можем сделать 3! вариантов, так как нужно расставить 3 завучей по этим 3 школам.
• Для оставшихся 4 школ мы просто разослали обычные приглашения для директоров, для которых существует 4! вариантов.

Общее количество вариантов будет равно произведению:

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)\cdot 3!\cdot 4!$$

Вычислим:

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)=35,3!=6,4!=24$$$$A=35\cdot 6\cdot 24=30240$$

Ответ для пункта в):
Число всех возможных рассылок, если в трех приглашениях нужно дописать приглашения завучам по учебной работе, равно 30 240.

г) Число всех возможных рассылок, если в три школы нужно разослать дополнительные приглашения для заместителей по учебной работе и в четыре другие школы — для заместителей по воспитательной работе

Теперь задача еще сложнее: в три школы нужно разослать дополнительные приглашения для заместителей по учебной работе, а в другие четыре школы — для заместителей по воспитательной работе. Для каждого типа заместителей (по учебной работе и по воспитательной работе) мы будем рассчитывать количество вариантов рассылки приглашений.

Как решается:

• Сначала выберем 3 школы, которым нужно отправить дополнительные приглашения для завучей по учебной работе. Количество способов выбрать эти 3 школы из 7 равно $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)$.
• Для выбранных 3 школ отправим по одному приглашению для завучей по учебной работе. Для этих школ существует 3! вариантов рассылки.
• Для оставшихся 4 школ нужно разослать приглашения для заместителей по воспитательной работе. Для этих 4 школ существует 4! вариантов рассылки.

Итак, общее количество вариантов рассылки будет равно произведению:

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)\cdot 3!\cdot 4!$$

Вычислим:

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)=35,3!=6,4!=24$$$$A=35\cdot 6\cdot 24=725760$$

Ответ для пункта г):
Число всех возможных рассылок, если в три школы нужно разослать дополнительные приглашения для заместителей по учебной работе и в четыре другие — для заместителей по воспитательной работе, равно 725 760.

Итоговые ответы:

а) 5040
б) 720
в) 30 240
г) 725 760