ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В зоопарке пять львов надо распределить по одному по пяти клеткам, четырех тигров — по четырем другим клеткам и трех слонов — по трем вольерам.

a) Найдите число всех возможных распределений львов, тигров и слонов в зоопарке.

б) То же, но если есть четыре льва и львица и одного льва (известно какого именно) вместе с львицей надо посадить в одну клетку.

Пять львов, четыре тигра и три слона распределяют по соответствующему числу вольеров;

а) Число всех возможных распределений животных:
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \quad — \text{вариантов распределения львов};$
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \quad — \text{вариантов распределения тигров};$
$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 = 6 \quad — \text{вариантов распределения слонов};$
$A = P_5 \cdot P_4 \cdot P_3 = 120 \cdot 24 \cdot 6 = 17 \, 280;$

б) Число всех возможных распределений животных, но если есть львица, которую требуется посадить с конкретным львом:
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \quad — \text{вариантов распределения львов};$
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \quad — \text{вариантов распределения тигров};$
$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 = 6 \quad — \text{вариантов распределения слонов};$
$A = P_5 \cdot P_4 \cdot P_3 = 120 \cdot 24 \cdot 6 = 17 \, 280;$

Ответ: а) 17 280; б) 17 280.

Часть а) Число всех возможных распределений львов, тигров и слонов в зоопарке

У нас есть пять львов, четыре тигра и три слона, которые нужно распределить по клеткам. Задано, что у нас имеется 5 клеток для львов, 4 клетки для тигров и 3 клетки для слонов.

Распределение львов:
Для пяти львов нам нужно выбрать пять клеток из всех доступных, то есть мы должны распределить пять львов по пяти клеткам. Поскольку каждая клетка получает одного льва, число способов распределить львов по клеткам будет равно числу перестановок 5 элементов, то есть $P_5$.

Для вычисления числа перестановок используем формулу:

$$P_n = n!$$

где $n$ — это количество элементов, которые нужно переставить.

Для 5 львов:

$$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$

Распределение тигров:
Далее, нужно распределить четырех тигров по четырем клеткам. Поскольку тигры также должны быть размещены по клеткам один за одним, это также задача на перестановки. Для 4 тигров количество вариантов распределений будет равно числу перестановок для 4 элементов, то есть $P_4$.

Для 4 тигров:

$$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Распределение слонов:
Аналогично львам и тиграм, для трех слонов мы должны найти число способов их распределить по 3 клеткам. Это опять же задача на перестановки, и для 3 слонов число способов распределения будет равно числу перестановок для 3 элементов, то есть $P_3$.

Для 3 слонов:

$$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Общее количество распределений:
Поскольку распределение львов, тигров и слонов — это независимые события, то общее число вариантов распределений всех животных будет равно произведению числа вариантов для каждого типа животных:

$$A = P_5 \cdot P_4 \cdot P_3 = 120 \cdot 24 \cdot 6 = 17\,280$$

Ответ для части а: количество всех возможных распределений:

$$A = 17\,280$$

Часть б) Число всех возможных распределений, если один конкретный лев должен сидеть с львицей в одной клетке

Во второй части задачи добавляется условие, что один конкретный лев должен сидеть в одной клетке с львицей. Это меняет подход к решению задачи, так как теперь этот лев и львица считаются как одно «существо» (пара).

Представление пары льва и львицы:
Поскольку лев и львица — это одна пара, то в задаче теперь рассматриваем не 5 львов, а только 4, так как один из львов сидит с львицей в одной клетке. Таким образом, для этой пары клетка будет одна.

Распределение пары льва и львицы:
Пара льва и львицы будет распределяться по клеткам вместе, и их количество вариантов распределения будет равно числу способов выбрать клетку для этой пары. Поскольку теперь в клетку нужно поместить не одного льва, а пару, то количество способов выбрать клетку для этой пары будет равно числу способов распределить 4 льва по клеткам, что снова является перестановкой 4 элементов (4 льва, один из которых сидит с львицей).

Число вариантов для распределения 4 львов:

$$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Распределение остальных львов:
Для оставшихся 4 клеток (включая клетку, где уже сидит пара) распределяем 4 тигра и 3 слонов. Количество вариантов для тигров и слонов, как и в части а), остается прежним.

Распределение 4 тигров:

$$P_4 = 4! = 24$$

Распределение 3 слонов:

$$P_3 = 3! = 6$$

Общее количество распределений:
Общее количество вариантов теперь будет равно произведению:

$$A = P_4 \cdot P_4 \cdot P_3 = 24 \cdot 24 \cdot 6 = 17\,280$$

Ответ для части б: количество всех возможных распределений:

$$A = 17\,280$$

Итоговый ответ:

а) 17 280;
б) 17 280.