ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр?

б) Сколько имеется трехзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр?

в) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5?

г) Сколько имеется трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90?

а) Трехзначных чисел, состоящих только из четных цифр:
$N_1 = \{2; 4; 6; 8\} = 4 — \text{варианта первой цифры};$
$N_2 = \{0; 2; 4; 6; 8\} = 5 — \text{вариантов второй цифры};$
$N_3 = \{0; 2; 4; 6; 8\} = 5 — \text{вариантов третьей цифры};$
$A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100;$

б) Трехзначных чисел с одинаковыми первой и третьей цифрами:
$N_1 = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 9 — \text{вариантов 1-ой и 3-ей цифр};$
$N_2 = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 10 — \text{вариантов второй цифры};$
$A = N_1 \cdot N_2 = 9 \cdot 10 = 90;$

в) Трехзначных чисел, кратных пяти:
$N_1 = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 9 — \text{вариантов первой цифры};$
$N_2 = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 10 — \text{вариантов второй цифры};$
$N_3 = \{0; 5\} = 2 — \text{варианта третьей цифры};$
$A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 9 \cdot 10 \cdot 2 = 180;$

г) Трехзначных чисел, которые при перемене первой и второй цифры меняются менее чем на 90, то есть первая и вторая цифры одинаковые:
$N_1 = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 9 — \text{вариантов 1-ой и 2-ей цифр};$
$N_2 = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 10 — \text{вариантов третьей цифры};$
$A = N_1 \cdot N_2 = 9 \cdot 10 = 90;$

Ответ: а) 100; б) 90; в) 180; г) 90.

а) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр?

Для того чтобы найти количество трехзначных чисел, составленных только из четных цифр, нам нужно понять, какие цифры можно использовать для каждой из цифр трехзначного числа.

Первая цифра (сотни):

• Первая цифра не может быть нулем, поскольку это трехзначное число. Таким образом, возможные цифры для первой позиции — это четные числа от 2 до 8. То есть, для первой цифры есть 4 возможных варианта: {2, 4, 6, 8}.

Вторая и третья цифры (десятки и единицы):

• Для второй и третьей цифры возможные цифры — это любые четные цифры, включая 0. То есть, для каждой из этих позиций возможны 5 вариантов: {0, 2, 4, 6, 8}.

Таким образом, общее количество таких чисел будет равно произведению количества вариантов для каждой цифры:

$$A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$$

Ответ: 100.

б) Сколько имеется трехзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр?

Для таких чисел должна выполняться условие: первая и последняя цифры должны быть одинаковыми.

Первая и последняя цифры (сотни и единицы):

• Первая и последняя цифры должны быть одинаковыми. Эти цифры могут быть любыми от 1 до 9 (не ноль для первой цифры). То есть, для первой и последней цифры есть 9 вариантов: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Вторая цифра (десятки):

• Вторая цифра может быть любая из цифр от 0 до 9, то есть для второй цифры есть 10 вариантов.

Общее количество таких чисел будет равно произведению количества вариантов для первой и последней цифры и количества вариантов для второй цифры:

$$A = N_1 \cdot N_2 = 9 \cdot 10 = 90$$

Ответ: 90.

в) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5?

Для чисел, кратных 5, последняя цифра должна быть 0 или 5.

Первая цифра (сотни):

• Первая цифра может быть любой цифрой от 1 до 9, то есть для первой цифры есть 9 вариантов.

Вторая цифра (десятки):

• Вторая цифра может быть любая из цифр от 0 до 9, то есть для второй цифры есть 10 вариантов.

Третья цифра (единицы):

• Третья цифра должна быть либо 0, либо 5, то есть для третьей цифры есть 2 возможных варианта: {0, 5}.

Общее количество таких чисел будет равно произведению количества вариантов для каждой из цифр:

$$A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 9 \cdot 10 \cdot 2 = 180$$

Ответ: 180.

г) Сколько имеется трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90?

Задача сводится к тому, чтобы первая и вторая цифры были одинаковыми. Когда мы меняем их местами, число должно измениться на меньше чем на 90. Это возможно только в том случае, если первая и вторая цифры одинаковые, так как иначе разница в числе будет больше 90.

Первая и вторая цифры:

• Первая и вторая цифры должны быть одинаковыми. Эти цифры могут быть любыми от 1 до 9, то есть для первой и второй цифры есть 9 вариантов: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Третья цифра (единицы):

• Третья цифра может быть любая из цифр от 0 до 9, то есть для третьей цифры есть 10 вариантов.

Общее количество таких чисел будет равно произведению количества вариантов для первой и второй цифры и количества вариантов для третьей цифры:

$$A = N_1 \cdot N_2 = 9 \cdot 10 = 90$$

Ответ: 90.

Итоговые ответы:

а) 100
б) 90
в) 180
г) 90