ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

За четверть в классе прошли пять тем по алгебре. Контрольная работа будет состоять из пяти задач: по одной задаче из каждой темы. К каждой теме заранее был составлен список из 10 задач, одна из которых будет входить в вариант контрольной. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

a) общее число всех вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

$n = 5$ — вариантов выбора темы;

$m_1 = 10$ — вариантов выбора задачи;

$m_2 = 8$ — вариантов задач, которые умеет решать ученик;

а) Всего вариантов составления контрольной работы:

$$A = m_1^n = 10^5 = 100\,000;$$

б) Всего вариантов, в которых ученик умеет решать все 5 задач:

$$A = m_2^n = 8^5 = 32\,768;$$

в) Всего вариантов, в которых ученик ничего не может решить:

$$m_3 = m_1 — m_2 = 10 — 8 = 2 \text{ — варианта задач, которые он не умеет решать};$$ $$A = m_3^n = 2^5 = 32;$$

г) Всего вариантов, в которых ученик решает все задачи, кроме первой:

$$A_1 = m_1 — m_2 = 10 — 8 = 2 \text{ — варианта выбора первой задачи};$$ $$A_2 = m_2^{n-1} = 8^4 = 4096 \text{ — вариантов выбора остальных 4 задач};$$ $$A = A_1 \cdot A_2 = 2 \cdot 4096 = 8\,192;$$

Ответ: а) $100\,000$; б) $32\,768$; в) $32$; г) $8\,192$.

Дано:

• $n = 5$ — количество тем, которые изучались за четверть (то есть количество задач в контрольной работе).
• $m_1 = 10$ — количество задач в каждой теме.
• $m_2 = 8$ — количество задач, которые ученик умеет решать в каждой теме.
• $m_3 = m_1 — m_2 = 10 — 8 = 2$ — количество задач, которые ученик не умеет решать в каждой теме.

Задание а) Общее число всех вариантов контрольной работы:

Каждая тема может быть выбрана из 10 задач, и задача будет выбрана случайным образом для каждой из 5 тем. Таким образом, общее количество вариантов для каждой контрольной работы будет вычисляться как произведение числа вариантов для каждой темы.

Количество вариантов выбора задачи для одной темы — $m_1 = 10$. Поскольку контрольная работа состоит из 5 задач (по одной из каждой темы), то общее количество вариантов составления контрольной работы будет равно:

$$A = m_1^n = 10^5 = 100\,000$$

Ответ: $100\,000$ вариантов.

Задание б) Число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач:

Если ученик умеет решать только 8 задач в каждой теме, то в каждой теме мы можем выбрать только одну из 8 решаемых учеником задач. Для каждой из 5 тем существует 8 вариантов выбора задачи, которую ученик может решить.

Таким образом, общее количество вариантов контрольной работы, где ученик умеет решать все задачи, равно:

$$A = m_2^n = 8^5 = 32\,768$$

Ответ: $32\,768$ вариантов.

Задание в) Число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить:

Для того чтобы ученик не мог решить ни одной задачи, в каждой теме должна быть выбрана задача, которую ученик не умеет решать. Поскольку ученик не умеет решать 2 задачи из 10 в каждой теме, для каждой темы есть 2 варианта выбора задачи, которую ученик не может решить.

Таким образом, общее количество вариантов контрольной работы, где ученик не может решить ни одной задачи, будет равно:

$$A = m_3^n = 2^5 = 32$$

Ответ: $32$ варианта.

Задание г) Число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой:

Здесь нужно вычислить количество вариантов, при которых ученик не может решить первую задачу, но умеет решать остальные 4 задачи.

1. Первая задача: Ученик не может решить первую задачу, значит, для первой задачи из 10 доступных вариантов он может выбрать только одну из 2 задач, которые он не умеет решать.

   Таким образом, для первой задачи есть 2 варианта.

2. Остальные 4 задачи: Для оставшихся 4 тем ученик может решить любую из 8 задач, так как он умеет решать все задачи, кроме первой.

   Для каждой из оставшихся 4 тем есть 8 вариантов выбора задачи.

Итак, общее количество вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой, будет равно произведению вариантов для первой задачи и для остальных 4 задач:

$$A = A_1 \cdot A_2 = 2 \cdot 8^4 = 2 \cdot 4096 = 8\,192$$

Ответ: $8\,192$ вариантов.

Ответ:

а) $100\,000$
б) $32\,768$
в) $32$
г) $8\,192$