ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 47.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В каждую клетку квадратной таблицы 3×3 произвольно ставят крестик или нолик.

a) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?

б) В скольких случаях в первом столбце будут одни крестики?

в) В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни нолики?

г) В скольких случаях во второй строке будет стоять ровно один крестик?

$n = 3 \cdot 3 = 9$ — вариантов выбора клетки;

$m = \{X; O\} = 2$ — варианта выбора знака;

а) Всего вариантов заполнения таблицы:

$A = m^n = 2^9 = 512;$

б) Всего вариантов, если в первом столбце только крестики:

$n = 3 \cdot 2 = 6$ — вариантов выбора клетки из оставшихся;

$A = m^n = 2^6 = 64;$

в) Всего вариантов, если по диагоналям будут стоять одни нолики:

$k = 5$ — клеток стоят по диагоналям;

$n = 9 — 5 = 4$ — вариантов выбора клетки из оставшихся;

$A = m^n = 2^4 = 16;$

г) Во второй строке будет стоять ровно один крестик:

$n = 3 \cdot 2 = 6$ — вариантов выбора клетки из оставшихся строк;

$N_1 = \{\text{XXO}; \text{ XOX}; \text{ OXX}\} = 3$ — варианта заполнения второй строки;

$A_1 = m^n = 2^6 = 64$ — вариантов заполнения остальных строк;

$A = A_1 \cdot N_1 = 64 \cdot 3 = 192;$

Ответ: а) 512; б) 64; в) 16; г) 192.

У нас есть квадратная таблица размером 3×3, и в каждую клетку этой таблицы можно ставить крестик (X) или нолик (O). Всего в таблице 9 клеток, и для каждой из них есть два варианта: крестик или нолик.

а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?

Для заполнения таблицы каждой клетке можно присвоить два значения: крестик или нолик. Поскольку таблица состоит из 9 клеток, то для каждой клетки есть два возможных выбора.

Количество способов заполнить таблицу можно вычислить как $2^9$, так как на каждом шаге (в каждой клетке) мы делаем два выбора (крестик или нолик), и таких выборов 9.

Расчет:

$$A = 2^9 = 512$$

Итак, всего существует 512 способов заполнить таблицу.

б) В скольких случаях в первом столбце будут одни крестики?

Теперь рассмотрим ситуацию, когда в первом столбце таблицы (это три клетки: первая, четвертая и седьмая) стоят только крестики. В этих клетках уже зафиксированы крестики, и нам нужно посчитать количество вариантов заполнения оставшихся клеток.

В первом столбце три клетки уже заняты крестиками, и нас интересует только заполнение оставшихся клеток. Это 6 клеток, которые находятся во втором и третьем столбцах, и для каждой из них есть два варианта: крестик или нолик.

Количество способов заполнить оставшиеся 6 клеток можно вычислить как $2^6$.

Расчет:

$$A = 2^6 = 64$$

Итак, существует 64 способа заполнить таблицу, если в первом столбце будут только крестики.

в) В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни нолики?

В этой части задачи мы должны посчитать количество способов заполнить таблицу, если по диагоналям будут стоять одни нолики.

В таблице две диагонали:

1. Главная диагональ: клетки 1, 5, 9.
2. Побочная диагональ: клетки 3, 5, 7.

Для того чтобы по диагоналям стояли только нолики, в клетках 1, 3, 5, 7, 9 должны быть только нолики. То есть клетки 1, 3, 5, 7, 9 уже заняты ноликами, и нам нужно посчитать количество способов заполнения оставшихся клеток (клетки 2, 4, 6, 8).

Оставшиеся 4 клетки могут быть заполнены крестиками или ноликами, то есть для каждой из этих клеток есть 2 возможных варианта.

Количество способов заполнить оставшиеся 4 клетки можно вычислить как $2^4$.

Расчет:

$$A = 2^4 = 16$$

Итак, существует 16 способов заполнить таблицу, если по диагоналям стоят одни нолики.

г) В скольких случаях во второй строке будет стоять ровно один крестик?

Теперь рассмотрим случай, когда во второй строке таблицы (это клетки 4, 5, 6) будет стоять ровно один крестик. Для этого нужно выбрать одну из трех клеток во второй строке, в которой будет стоять крестик, а в других двух клетках второй строки будут стоять нолики.

Для выбора одной клетки, в которой будет стоять крестик, существует 3 возможных варианта (можно выбрать любую из клеток 4, 5 или 6). После того как выбран крестик, в оставшихся двух клетках обязательно будут нолики, так что вариантов их заполнения нет.

Теперь нам нужно посчитать количество способов заполнить остальные клетки таблицы. Из второй строки мы уже заполнили одну клетку крестиком, и остальные клетки (клетки 1, 2, 3, 7, 8, 9) могут быть заполнены любым образом: крестик или нолик. Для каждой из этих клеток есть 2 варианта, то есть 6 клеток, которые могут быть заполнены любым образом.

Количество способов заполнить оставшиеся 6 клеток можно вычислить как $2^6$.

Теперь, чтобы найти общее количество вариантов, нужно умножить количество способов выбрать одну клетку с крестиком в строке и количество способов заполнить остальные клетки:

$$A = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192$$

Итак, существует 192 способа заполнить таблицу, если во второй строке будет стоять ровно один крестик.

Ответ:

а) 512 способов;

б) 64 способа;

в) 16 способов;

г) 192 способа.