ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что:

a) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой.

Пусть $N$ человек совершили от 60 до 70 рукопожатий;

а) Если каждый поздоровался с каждым:

$$60 \leq C_{n}^{2} \leq 70;$$ $$60 \leq \frac{n(n-1)}{2} \leq 70;$$ $$120 \leq n^2 — n \leq 140;$$ $$120 \leq 144 — 12 \leq 140;$$ $$N = n = 12;$$

б) Если только один человек не поздоровался ни с кем:

$$60 \leq C_{n}^{2} \leq 70;$$ $$60 \leq \frac{n(n-1)}{2} \leq 70;$$ $$120 \leq n^2 — n \leq 140;$$ $$120 \leq 144 — 12 \leq 140;$$ $$N = n + 1 = 13;$$

в) Если только два человека не поздоровались между собой:

$$60 \leq C_{n}^{2} — 1 \leq 70;$$ $$61 \leq \frac{n(n-1)}{2} \leq 71;$$ $$122 \leq n^2 — n \leq 142;$$ $$122 \leq 144 — 12 \leq 142;$$ $$N = n = 12;$$

г) Если четверо поздоровались только между собой, и остальные поздоровались только между собой:

$$60 \leq C_{4}^{2} + C_{n-4}^{2} \leq 70;$$ $$60 \leq \frac{4(4-1)}{2} + \frac{(n-4)(n-4-1)}{2} \leq 70;$$ $$60 \leq \frac{12}{2} + \frac{(n-4)(n-5)}{2} \leq 70;$$ $$120 \leq 12 + n^2 — 5n — 4n + 20 \leq 140;$$ $$120 \leq 32 + n^2 — 9n \leq 140;$$ $$88 \leq n^2 — 9n \leq 108;$$ $$88 \leq 15^2 — 9 \cdot 15 \leq 108;$$ $$88 \leq 225 — 135 \leq 108;$$ $$N = n = 15;$$

Ответ: а) 12; б) 13; в) 12; г) 15.

Будем обозначать количество людей как $N$, а количество рукопожатий — как $H$. Количество рукопожатий можно вычислить с помощью формулы сочетаний для $C_N^2$ (количество способов выбрать 2 человека из $N$):

$$H = \frac{N(N-1)}{2}$$

a) Каждый здоровался с каждым

Если каждый человек здоровается с каждым, то общее количество рукопожатий равно сочетанию двух человек из $N$, то есть:

$$H = \frac{N(N-1)}{2}$$

Необходимо найти $N$, при котором количество рукопожатий $H$ находится в пределах от 60 до 70. То есть:

$$60 \leq \frac{N(N-1)}{2} \leq 70$$

Умножим обе части неравенства на 2:

$$120 \leq N(N-1) \leq 140$$

Теперь решим неравенство $N(N-1)$. Рассмотрим два края этого неравенства:

$N(N-1) \geq 120$

Решим уравнение $N(N-1) = 120$:

$$N^2 — N — 120 = 0$$

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

$$N = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 — 4(1)(-120)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 480}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{481}}{2}$$

Приближенно:

$$\sqrt{481} \approx 21.93$$

Таким образом:

$$N \approx \frac{1 + 21.93}{2} \approx 11.465$$

Следовательно, $N \geq 12$.

$N(N-1) \leq 140$

Решим уравнение $N(N-1) = 140$:

$$N^2 — N — 140 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$N = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 — 4(1)(-140)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 560}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{561}}{2}$$

Приближенно:

$$\sqrt{561} \approx 23.7$$

Таким образом:

$$N \approx \frac{1 + 23.7}{2} \approx 12.35$$

Следовательно, $N \leq 13$.

Таким образом, $N = 12$ или $N = 13$. Проверим, что для этих значений выполняется условие $60 \leq \frac{N(N-1)}{2} \leq 70$.

Для $N = 12$:

$$H = \frac{12 \times 11}{2} = 66$$

Для $N = 13$:

$$H = \frac{13 \times 12}{2} = 78$$

$N = 12$ подходит, так как $H = 66$, что входит в промежуток от 60 до 70.

Ответ: $N = 12$.

б) Только один человек не здоровался ни с кем

Если только один человек не поздоровался ни с кем, то на самом деле всего $N-1$ человек здоровались между собой. Общее количество рукопожатий для $N-1$ человек можно вычислить по формуле сочетаний:

$$H = \frac{(N-1)(N-2)}{2}$$

Нужно найти $N$, при котором количество рукопожатий $H$ находится в пределах от 60 до 70:

$$60 \leq \frac{(N-1)(N-2)}{2} \leq 70$$

Умножим обе части на 2:

$$120 \leq (N-1)(N-2) \leq 140$$

Аналогично решаем это неравенство.

$(N-1)(N-2) \geq 120$

Решим уравнение $(N-1)(N-2) = 120$:

$$(N-1)^2 — (N-1) — 120 = 0$$

Таким образом, $N — 1 \geq 12$, то есть $N \geq 13$.

$(N-1)(N-2) \leq 140$

Решим уравнение $(N-1)(N-2) = 140$:

$$(N-1)^2 — (N-1) — 140 = 0$$

Таким образом, $N — 1 \leq 14$, то есть $N \leq 15$.

Таким образом, $N = 13$ или $N = 14$. Проверим, что для этих значений выполняется условие $60 \leq \frac{(N-1)(N-2)}{2} \leq 70$.

Для $N = 13$:

$$H = \frac{12 \times 11}{2} = 66$$

Для $N = 14$:

$$H = \frac{13 \times 12}{2} = 78$$

$N = 13$ подходит, так как $H = 66$.

Ответ: $N = 13$.

в) Только двое не поздоровались между собой

Если только два человека не поздоровались между собой, то количество рукопожатий будет равно количеству рукопожатий между $N$ людьми, за вычетом одного рукопожатия (между двумя людьми, которые не поздоровались).

Общее количество рукопожатий можно выразить так:

$$H = \frac{N(N-1)}{2} — 1$$

Нужно найти $N$, при котором количество рукопожатий $H$ находится в пределах от 60 до 70:

$$60 \leq \frac{N(N-1)}{2} — 1 \leq 70$$

Умножим обе части на 2 и добавим 2:

$$122 \leq N(N-1) \leq 142$$

Решаем это неравенство, как в пункте а). Получаем, что $N = 12$.

Ответ: $N = 12$.

г) Четверо поздоровались только между собой, и остальные поздоровались только между собой

Если четверо поздоровались только между собой, то количество рукопожатий среди этих четырёх людей:

$$H_4 = \frac{4(4-1)}{2} = 6$$

А количество рукопожатий среди оставшихся $N-4$ людей:

$$H_{N-4} = \frac{(N-4)(N-5)}{2}$$

Общее количество рукопожатий будет равно сумме этих двух частей:

$$H = H_4 + H_{N-4} = 6 + \frac{(N-4)(N-5)}{2}$$

Нужно найти $N$, при котором количество рукопожатий $H$ находится в пределах от 60 до 70:

$$60 \leq 6 + \frac{(N-4)(N-5)}{2} \leq 70$$

Умножим обе части на 2 и вычтем 12:

$$96 \leq (N-4)(N-5) \leq 128$$

Решаем это неравенство.

$(N-4)(N-5) \geq 96$

Решим уравнение $(N-4)(N-5) = 96$:

$$(N-4)^2 — (N-4) — 96 = 0$$

Решаем:

$$N — 4 \geq 15, \quad N \geq 19$$

$(N-4)(N-5) \leq 128$

Решим уравнение $(N-4)(N-5) = 128$:

$$(N-4)^2 — (N-4) — 128 = 0$$

Получаем $N = 15$.

Ответ: $N = 15$.

Итоговые ответы:

а) 12; б) 13; в) 12; г) 15.