ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $C_{x}^{3} = 2C_{x}^{2}$;

б) $C_{x}^{x-2} = 15$;

в) $C_{x}^{2} + C_{x+1}^{2} = 49$;

г) $C_{8}^{x} = 70$

а) $C_{x}^{3} = 2C_{x}^{2}$;

$$\frac{x!}{3! \cdot (x-3)!} = 2 \cdot \frac{x!}{2! \cdot (x-2)!};$$ $$\frac{1}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{2}{2! \cdot (x-2)(x-3)!};$$ $$\frac{1}{6} = \frac{1}{(x-2)};$$ $$x — 2 = 6, \text{ отсюда } x = 8;$$

Ответ: $x = 8$.

б) $C_{x}^{x-2} = 15$;

$$\frac{x!}{(x-2)! \cdot (x-x+2)!} = 15;$$ $$\frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)! \cdot 2!} = 15;$$ $$\frac{x(x-1)}{2} = 15;$$ $$x(x-1) = 30;$$ $$x^2 — x — 30 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 30 = 1 + 120 = 121, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 11}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 11}{2} = 6;$$

Ответ: $x = 6$.

в) $C_{x}^{2} + C_{x+1}^{2} = 49$;

$$\frac{x!}{2! \cdot (x-2)!} + \frac{(x+1)!}{2! \cdot (x+1-2)!} = 49;$$ $$\frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} + \frac{(x+1)x(x-1)!}{2 \cdot (x-1)!} = 49;$$ $$\frac{x^2 — x}{2} + \frac{x^2 + x}{2} = 49;$$ $$x^2 = 49, \text{ отсюда } x = 7;$$

Ответ: $x = 7$.

г) $C_{8}^{x} = 70$;

$$\frac{8!}{x! \cdot (8-x)!} = 70;$$ $$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 70(x! \cdot (8-x)!);$$ $$40320 = 70(x! \cdot (8-x)!);$$ $$x! \cdot (8-x)! = 576;$$ $$\begin{cases} x > 0 \\ 8 — x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x < 8 \end{cases}$$

Ответ: $x = 4$.

а) $C_{x}^{3} = 2C_{x}^{2}$

Шаг 1. Запишем биномиальные коэффициенты:

Биномиальный коэффициент $C_{x}^{n}$ можно выразить через факториалы:

$$C_{x}^{n} = \frac{x!}{n! \cdot (x-n)!}.$$

Тогда, для выражения $C_{x}^{3}$ и $C_{x}^{2}$, имеем:

$$C_{x}^{3} = \frac{x!}{3! \cdot (x-3)!}, \quad C_{x}^{2} = \frac{x!}{2! \cdot (x-2)!}.$$

Шаг 2. Подставим в исходное уравнение:

У нас есть равенство:

$$C_{x}^{3} = 2C_{x}^{2}.$$

Подставляем выражения для биномиальных коэффициентов:

$$\frac{x!}{3! \cdot (x-3)!} = 2 \cdot \frac{x!}{2! \cdot (x-2)!}.$$

Шаг 3. Упростим уравнение:

Сначала сократим факториалы $x!$ с обеих сторон:

$$\frac{1}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{2}{2! \cdot (x-2) \cdot (x-3)!}.$$

Теперь можно сократить $(x-3)!$ с обеих сторон:

$$\frac{1}{3!} = \frac{2}{2! \cdot (x-2)}.$$

Шаг 4. Упростим числа:

$3! = 6$, $2! = 2$, подставляем:

$$\frac{1}{6} = \frac{2}{2 \cdot (x-2)}.$$

Упростим правую часть:

$$\frac{1}{6} = \frac{1}{x-2}.$$

Шаг 5. Решим уравнение:

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$$x — 2 = 6,$$

отсюда:

$$x = 8.$$

Ответ:

$$x = 8.$$

б) $C_{x}^{x-2} = 15$

Шаг 1. Запишем биномиальный коэффициент:

Биномиальный коэффициент $C_{x}^{x-2}$ можно записать как:

$$C_{x}^{x-2} = \frac{x!}{(x-2)! \cdot 2!}.$$

Шаг 2. Подставим в исходное уравнение:

Исходное уравнение:

$$C_{x}^{x-2} = 15.$$

Подставляем выражение для биномиального коэффициента:

$$\frac{x!}{(x-2)! \cdot 2!} = 15.$$

Шаг 3. Упростим уравнение:

Сначала выразим $2! = 2$:

$$\frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)! \cdot 2} = 15.$$

Сокращаем $(x-2)!$ с обеих сторон:

$$\frac{x(x-1)}{2} = 15.$$

Шаг 4. Умножим обе стороны на 2:

$$x(x-1) = 30.$$

Шаг 5. Решим квадратное уравнение:

Раскроем скобки:

$$x^2 — x = 30,$$

переносим 30 на левую сторону:

$$x^2 — x — 30 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Шаг 6. Найдем дискриминант:

Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае $a = 1$, $b = -1$, $c = -30$, подставляем:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121.$$

Шаг 7. Найдем корни уравнения:

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем $b = -1$, $D = 121$, $a = 1$:

$$x_1 = \frac{-(-1) — 11}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 11}{2} = -5,$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 11}{2} = 6.$$

Шаг 8. Выберем подходящее значение $x$:

Так как $x$ должно быть положительным, мы выбираем $x = 6$.

Ответ:

$$x = 6.$$

в) $C_{x}^{2} + C_{x+1}^{2} = 49$

Шаг 1. Запишем биномиальные коэффициенты:

Биномиальный коэффициент $C_{x}^{2}$ можно записать как:

$$C_{x}^{2} = \frac{x!}{2! \cdot (x-2)!}.$$

А биномиальный коэффициент $C_{x+1}^{2}$ будет:

$$C_{x+1}^{2} = \frac{(x+1)!}{2! \cdot (x+1-2)!}.$$

Шаг 2. Подставим в исходное уравнение:

Исходное уравнение:

$$C_{x}^{2} + C_{x+1}^{2} = 49.$$

Подставляем выражения для биномиальных коэффициентов:

$$\frac{x!}{2! \cdot (x-2)!} + \frac{(x+1)!}{2! \cdot (x-1)!} = 49.$$

Шаг 3. Упростим выражения:

Сначала $2! = 2$, и упростим факториалы:

$$\frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} + \frac{(x+1)x(x-1)!}{2 \cdot (x-1)!} = 49.$$

Сократим $(x-2)!$ и $(x-1)!$:

$$\frac{x(x-1)}{2} + \frac{x(x+1)}{2} = 49.$$

Шаг 4. Приведем выражения:

Теперь объединяем два выражения в одну дробь:

$$\frac{x^2 — x}{2} + \frac{x^2 + x}{2} = 49.$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{x^2 — x + x^2 + x}{2} = 49,$$

сокращаем $-x$ и $+x$:

$$\frac{2x^2}{2} = 49.$$

Шаг 5. Упростим уравнение:

$$x^2 = 49.$$

Шаг 6. Решим уравнение:

Отсюда:

$$x = 7.$$

Ответ:

$$x = 7.$$

г) $C_{8}^{x} = 70$

Шаг 1. Запишем биномиальный коэффициент:

Биномиальный коэффициент $C_{8}^{x}$ можно записать как:

$$C_{8}^{x} = \frac{8!}{x! \cdot (8-x)!}.$$

Шаг 2. Подставим в исходное уравнение:

Исходное уравнение:

$$C_{8}^{x} = 70.$$

Подставляем выражение для биномиального коэффициента:

$$\frac{8!}{x! \cdot (8-x)!} = 70.$$

Шаг 3. Упростим уравнение:

Заменим $8! = 40320$:

$$\frac{40320}{x! \cdot (8-x)!} = 70.$$

Умножим обе стороны на $x! \cdot (8-x)!$:

$$40320 = 70 \cdot x! \cdot (8-x)!.$$

Разделим обе стороны на 70:

$$576 = x! \cdot (8-x)!.$$

Шаг 4. Пробуем различные значения $x$:

Пробуем значения $x = 4$ (поскольку биномиальные коэффициенты симметричны, проверим только $x \leq 4$).

$$C_{8}^{4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{40320}{24 \cdot 24} = \frac{40320}{576} = 70.$$

Ответ:

$$x = 4.$$