ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $C_{x}^{3} = A_{x}^{2};$

б) $C_{x}^{4} = A_{x}^{3};$

в) $C_{x}^{4} = A_{x}^{3} + C_{x}^{3};$

г) $0,5A_x^4=3(A_{x-1}^3+C_{x-1}^3)$

а) $C_{x}^{3} = A_{x}^{2};$

$$\frac{x!}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{x!}{(x-2)!};$$ $$\frac{1}{3 \cdot 2 \cdot (x-3)!} = \frac{1}{(x-2)(x-3)!};$$ $$\frac{1}{6} = \frac{1}{x-2};$$

$x — 2 = 6$, отсюда $x = 8$;

Ответ: $x = 8$.

б) $C_{x}^{4} = A_{x}^{3};$

$$\frac{x!}{4! \cdot (x-4)!} = \frac{x!}{(x-3)!};$$ $$\frac{1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (x-4)!} = \frac{1}{(x-3)(x-4)!};$$ $$\frac{1}{24} = \frac{1}{x-3};$$

$x — 3 = 24$, отсюда $x = 27$;

Ответ: $x = 27$.

в) $C_{x}^{4} = A_{x}^{3} + C_{x}^{3};$

$$\frac{x!}{4! \cdot (x-4)!} = \frac{x!}{(x-3)!} + \frac{x!}{3! \cdot (x-3)!};$$ $$\frac{x-3}{4! \cdot (x-4)! \cdot (x-3)} = \frac{4! + 4}{4! \cdot (x-3)(x-4)!};$$

$x — 3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 + 4;$

$x — 3 = 24 + 4;$

$x — 3 = 28$, отсюда $x = 31$;

Ответ: $x = 31$.

г) $0,5A_{x}^{4} = 3(A_{x-1}^{3} + C_{x-1}^{3});$

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{x!}{(x-4)!} = 3 \cdot \left( \frac{(x-1)!}{(x-1-3)!} + \frac{(x-1)!}{3! \cdot (x-1-3)!} \right);$$ $$\frac{1}{6} \cdot \frac{x(x-1)!}{(x-4)!} = \frac{(x-1)!}{(x-4)!} + \frac{(x-1)!}{3 \cdot 2 \cdot (x-4)!};$$ $$\frac{1}{6} \cdot x = 1 + \frac{x}{6};$$

$x = 6 + 1 = 7;$

Ответ: $x = 7$.

Задача (а): $C_{x}^{3} = A_{x}^{2}$

Мы имеем следующую задачу:

$$\frac{x!}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{x!}{(x-2)!}$$

Приведем обе стороны выражения к более простому виду.

В левой части выражения мы видим формулу для биномиального коэффициента $C_{x}^{3}$:

$$C_{x}^{3} = \frac{x!}{3! \cdot (x-3)!}$$

В правой части — формула для перестановок $A_{x}^{2}$:

$$A_{x}^{2} = \frac{x!}{(x-2)!}$$

Упростим обе стороны уравнения:

$$\frac{x!}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{x!}{(x-2)!}$$

Сократим факториалы $x!$ с обеих сторон уравнения (предположим, что $x \geq 3$):

$$\frac{1}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{1}{(x-2)!}$$

Перепишем это уравнение:

$$\frac{1}{6 \cdot (x-3)!} = \frac{1}{(x-2) \cdot (x-3)!}$$

Умножим обе стороны на $(x-3)!$ и получим:

$$\frac{1}{6} = \frac{1}{x-2}$$

Теперь решим для $x$:

$$x — 2 = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 8$$

Ответ: $x = 8$.

Задача (б): $C_{x}^{4} = A_{x}^{3}$

Итак, теперь рассмотрим уравнение:

$$\frac{x!}{4! \cdot (x-4)!} = \frac{x!}{(x-3)!}$$

Приведем обе части уравнения к более простому виду:

• Левая часть — это биномиальный коэффициент $C_{x}^{4}$:

  $$C_{x}^{4} = \frac{x!}{4! \cdot (x-4)!}$$

• Правая часть — это перестановки $A_{x}^{3}$:

  $$A_{x}^{3} = \frac{x!}{(x-3)!}$$

Сократим $x!$ с обеих сторон уравнения (предположим, что $x \geq 4$):

$$\frac{1}{4! \cdot (x-4)!} = \frac{1}{(x-3)!}$$

Умножим обе стороны на $(x-4)!$ и получим:

$$\frac{1}{4!} = \frac{1}{x-3}$$

Теперь решим для $x$:

$$x — 3 = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 27$$

Ответ: $x = 27$.

Задача (в): $C_{x}^{4} = A_{x}^{3} + C_{x}^{3}$

Теперь рассмотрим более сложное уравнение:

$$\frac{x!}{4! \cdot (x-4)!} = \frac{x!}{(x-3)!} + \frac{x!}{3! \cdot (x-3)!}$$

Приведем к общему знаменателю на правой части:

$$\frac{x!}{4! \cdot (x-4)!} = \frac{x!}{(x-3)!} + \frac{x!}{3! \cdot (x-3)!}$$

Сократим $x!$ с обеих сторон:

$$\frac{1}{4! \cdot (x-4)!} = \frac{1}{(x-3)!} + \frac{1}{3! \cdot (x-3)!}$$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{(x-3)!} + \frac{1}{3! \cdot (x-3)!} = \frac{1}{(x-3)!} \left( 1 + \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{(x-3)!} \cdot \frac{7}{6}$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$\frac{1}{4! \cdot (x-4)!} = \frac{7}{6 \cdot (x-3)!}$$

Умножим обе стороны на $6 \cdot (x-4)!$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$\frac{6}{4!} = \frac{7}{(x-3)(x-4)!}$$

Решим для $x$. Умножим обе части на $(x-3)$:

$$6 \cdot (x-3) = 7 \cdot 4!$$

Упростим выражение:

$$6(x-3) = 7 \cdot 24$$ $$6x — 18 = 168$$ $$6x = 186$$ $$x = 31$$

Ответ: $x = 31$.

Задача (г): $0,5A_{x}^{4} = 3(A_{x-1}^{3} + C_{x-1}^{3})$

Здесь у нас более сложное выражение:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{x!}{(x-4)!} = 3 \cdot \left( \frac{(x-1)!}{(x-1-3)!} + \frac{(x-1)!}{3! \cdot (x-1-3)!} \right)$$

Раскроем правую часть, используя формулы для перестановок и биномиальных коэффициентов:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{x!}{(x-4)!} = 3 \cdot \left( \frac{(x-1)!}{(x-4)!} + \frac{(x-1)!}{3! \cdot (x-4)!} \right)$$

Сократим $(x-1)!$ с обеих сторон:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{(x-4)!} = \frac{1}{(x-4)!} + \frac{1}{6 \cdot (x-4)!}$$

Умножим обе стороны на $(x-4)!$ и получим:

$$\frac{x}{2} = 1 + \frac{x}{6}$$

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей:

$$3x = 6 + x$$

Решим для $x$:

$$3x — x = 6$$ $$2x = 6$$ $$x = 7$$

Ответ: $x = 7$.$x = 7$