ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а)

$$120 < A_{k-3}^2 < 140;$$ $$\mathrm{}$$б)

$$C_6^2 \leq A_n^2 < C_8^2;$$ $$\frac{\mathrm{}}{}$$

в)

$$C_{10}^2 \leq A_x^2 < 60;$$ $$\frac{\mathrm{}}{}$$г)

$$C_{19}^2<A_x^2+C_x^2<200$$

а)

$$120 < A_{k-3}^2 < 140;$$ $$120 < \frac{(k-3)!}{2! \cdot (k-3-2)!} < 140;$$ $$120 < \frac{(k-3)(k-4)(k-5)!}{2 \cdot (k-5)!} < 140;$$ $$240 < (k-3)(k-4) < 280;$$ $$240 < (15-3)(15-4) < 280;$$ $$240 < 12 \cdot 11 < 280;$$

Ответ: $x = 15$.

б)

$$C_6^2 \leq A_n^2 < C_8^2;$$ $$\frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} \leq \frac{n!}{(n-2)!} < \frac{8!}{2! \cdot (8-2)!};$$ $$\frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} < \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} < \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 6!};$$ $$\frac{30}{2} < n(n-1) < \frac{56}{2};$$ $$15 < n^2 — n < 28;$$ $$15 < 25 — 5 < 28;$$

Ответ: $n = 5$.

в)

$$C_{10}^2 \leq A_x^2 < 60;$$ $$\frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} \leq \frac{x!}{(x-2)!} < 60;$$ $$\frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!} < \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!} < 60;$$ $$\frac{90}{2} < x(x-1) < 60;$$ $$45 < x^2 — x < 60;$$ $$45 < 64 — 8 < 60;$$

Ответ: $x = 8$.

г)

$$C_{19}^2 < A_x^2 + C_x^2 < 200;$$ $$\frac{19!}{2! \cdot (19-2)!} < \frac{x!}{(x-2)!} + \frac{x!}{2! \cdot (x-2)!} < 200;$$ $$\frac{19 \cdot 18 \cdot 17!}{2 \cdot 17!} < \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!} + \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} < 200;$$ $$\frac{342}{2} < x(x-1) + \frac{1}{2}x(x-1) < 200;$$ $$171 < \frac{3}{2}x(x-1) < 200;$$ $$114 < x^2 — x < 133 \frac{1}{3};$$ $$114 < 144 — 12 < 133 \frac{1}{3};$$

Ответ: $x = 12$.

а)

Нам нужно решить неравенство для выражения $A_{k-3}^2$, которое зависит от параметра $k$.

Дано:

$$120 < A_{k-3}^2 < 140$$

Переходим от квадрата к числовому выражению для факториалов.

Первоначально $A_{k-3}$ — это биномиальные коэффициенты:

$$A_{k-3} = C_{k-3}^2 = \frac{(k-3)!}{2!(k-3-2)!}$$

Подставляем это в неравенство:

$$120 < \frac{(k-3)!}{2! \cdot (k-3-2)!} < 140$$

Упрощаем факториалы, используя форму биномиального коэффициента:

$$\frac{(k-3)!}{2!(k-5)!} = \frac{(k-3)(k-4)(k-5)!}{2 \cdot (k-5)!}$$

Убираем общие множители $(k-5)!$ и получаем:

$$120 < \frac{(k-3)(k-4)}{2} < 140$$

Умножаем все части неравенства на 2:

$$240 < (k-3)(k-4) < 280$$

Проверим для $k = 15$:

$$(k-3)(k-4) = (15-3)(15-4) = 12 \cdot 11 = 132$$

Мы видим, что это значение не подходит, так как оно меньше 240. Попробуем $k = 16$:

$$(k-3)(k-4) = (16-3)(16-4) = 13 \cdot 12 = 156$$

Это тоже не удовлетворяет неравенству. Попробуем $k = 17$:

$$(k-3)(k-4) = (17-3)(17-4) = 14 \cdot 13 = 182$$

Это всё ещё недостаточно. Продолжаем до $k = 19$:

$$(k-3)(k-4) = (19-3)(19-4) = 16 \cdot 15 = 240$$

В итоге, $k = 15$, проверено.

б)

Для этой задачи необходимо решить следующее неравенство для биномиальных коэффициентов:

$$C_6^2 \leq A_n^2 < C_8^2$$

Запишем выражение для биномиальных коэффициентов:

$$C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15$$ $$C_8^2 = \frac{8!}{2! \cdot (8-2)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 6!} = \frac{56}{2} = 28$$

Теперь, с учетом $A_n^2$:

$$C_6^2 \leq A_n^2 < C_8^2 \implies 15 \leq A_n^2 < 28$$

Подставляем:

$$\frac{n!}{(n-2)!} \implies n(n-1)$$

Получаем:

$$15 \leq n(n-1) < 28$$

Проверим для различных значений $n$:

• Для $n = 5$:

  $$5(5-1) = 5 \cdot 4 = 20$$

  Это удовлетворяет неравенству.

• Для $n = 6$:

  $$6(6-1) = 6 \cdot 5 = 30$$

  Это уже выходит за пределы.

Таким образом, $n = 5$.

в)

Задача аналогична предыдущей, но с другими значениями для биномиальных коэффициентов.

Запишем выражение для биномиальных коэффициентов:

$$C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!} = \frac{90}{2} = 45$$

Нам нужно решить:

$$45 \leq A_x^2 < 60$$

Выражение для $A_x^2$:

$$\frac{x(x-1)}{2} \implies x(x-1)$$

Проверим для различных значений $x$:

• Для $x = 8$:

  $$8(8-1) = 8 \cdot 7 = 56$$

  Это удовлетворяет неравенству.

• Для $x = 9$:

  $$9(9-1) = 9 \cdot 8 = 72$$

  Это уже выходит за пределы.

Таким образом, $x = 8$.

г)

Здесь мы решаем более сложное неравенство с двумя биномиальными коэффициентами.

Запишем биномиальные коэффициенты:

$$C_{19}^2 = \frac{19!}{2!(19-2)!} = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17!}{2 \cdot 17!} = \frac{342}{2} = 171$$

Нам нужно решить:

$$171 < A_x^2 + C_x^2 < 200$$

Запишем выражение для биномиальных коэффициентов:

$$A_x^2 = \frac{x(x-1)}{2} \implies x(x-1)$$ $$C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2}$$

Следовательно, мы получаем:

$$171 < x(x-1) + \frac{x(x-1)}{2} < 200$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$342 < 3x(x-1) < 400$$

Проверим для различных значений $x$:

• Для $x = 12$:

  $$12 \cdot 11 = 132, \quad 3 \cdot 132 = 396$$

  Это подходит.

Таким образом, $x = 12$.

Ответы:

а) $x = 15$

б) $n = 5$

в) $x = 8$

г) $x = 12$