ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Три ноты из семи нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) одной октавы можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочередно (трезвучие).

a) Найдите число всех возможных трезвучий.

б) Найдите число всех возможных аккордов.

в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль».

г) Найдите число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние ноты).

Три ноты одной октавы из семи можно нажать одновременно (аккорд) или поочередно (трезвучие);

а) Общее число всех возможных трезвучий (порядок важен):
$A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210;$

б) Общее число всех возможных аккордов (порядок не важен):
$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 4!} = 7 \cdot 5 = 35;$

в) Общее число всех аккордов, содержащих ноту «соль»:
$k = 3 — 1 = 2 \quad \text{— остается выбрать нот};$
$n = 7 — 1 = 6 \quad \text{— остается нот в выборке};$
$C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} = 3 \cdot 5 = 15;$

г) Общее число всех трезвучий, в которых соседние ноты не идут подряд:
$A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 210 \quad \text{— всего вариантов трезвучий};$
$N_1 = 2 \cdot 2 \cdot (6 \cdot 5) = 120 \quad \text{— вариантов, в которых две ноты соседние};$
$N_2 = 10 \quad \text{— вариантов исключается (повторы)};$
$A = A_7^3 — (N_1 — N_2) = 210 — (120 — 10) = 210 — 110 = 100;$

Ответ: а) 210; б) 35; в) 15; г) 100.

У нас есть 7 нот одной октавы: до (C), ре (D), ми (E), фа (F), соль (G), ля (A), си (B). Нужно рассмотреть варианты, когда из этих 7 нот выбираются 3 ноты, которые могут быть нажаты либо одновременно (аккорд), либо поочередно (трезвучие).

a) Число всех возможных трезвучий (порядок важен)

Трезвучие — это последовательность из трех нот, где порядок их звучания важен. То есть для выбора трех нот важен не только сам состав, но и их расположение в последовательности.

Мы можем использовать формулу для числа размещений (перестановок) без повторений. Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$ мест (где порядок важен):

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Где:

• $n$ — общее количество элементов (в нашем случае, 7 нот),
• $k$ — количество выбираемых элементов (в нашем случае, 3 ноты).

Подставим значения:

$$A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$$

Ответ для пункта (а): 210 трезвучий.

б) Число всех возможных аккордов (порядок не важен)

Аккорд — это просто набор из трех нот, где порядок их расположения не имеет значения. То есть, важно только, какие ноты выбраны, а не в каком порядке они идут.

Для такого случая применяется формула для числа сочетаний (комбинаций) без повторений. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ мест:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Где:

• $n$ — общее количество элементов (7 нот),
• $k$ — количество выбираемых элементов (3 ноты).

Подставим значения:

$$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 5 = 35$$

Ответ для пункта (б): 35 аккордов.

в) Число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль»

Теперь нас интересуют аккорды, которые обязательно должны содержать ноту «соль» (G). У нас остается задача выбрать еще две ноты из оставшихся 6 нот: до (C), ре (D), ми (E), фа (F), ля (A), си (B).

Задача сводится к выбору 2 нот из этих 6. Порядок не важен, поэтому снова используем формулу для сочетаний:

$$C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$$

Ответ для пункта (в): 15 аккордов, содержащих ноту «соль».

г) Число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты

Задача усложняется: теперь нам нужно выбрать три ноты так, чтобы среди них не было двух соседних нот. Соседними считаются такие пары нот, как до и ре (C и D), ре и ми (D и E) и так далее.

Общее количество трезвучий (когда порядок важен) — мы уже вычислили в пункте (а). Это 210 вариантов.

Варианты, в которых хотя бы две ноты идут подряд:
Для этого нужно посчитать количество таких вариантов, где две из выбранных нот являются соседними.

Начнем с того, что выбираем пару соседних нот. Всего есть 6 пар соседних нот:

• (C, D)
• (D, E)
• (E, F)
• (F, G)
• (G, A)
• (A, B)

Каждую пару соседних нот можно дополнить одной из оставшихся 5 нот (если мы выбрали, например, пару (C, D), то мы можем выбрать третью ноту из (E, F, G, A, B)).

Таким образом, для каждой пары соседних нот у нас есть 5 вариантов для третьей ноты, что дает:

$$6 \cdot 5 = 30$$

Варианты, в которых две ноты подряд идут, но считаются повторяющимися:
Если мы считаем, что одна и та же пара может быть выбрана несколько раз (например, для пары (C, D) и третьей ноты, которая может повторяться), нужно вычесть такие повторы.

Всего таких повторов 10 (для каждого возможного трезвучия, которое мы уже вычли).

Общее количество трезвучий без соседних нот:
Теперь мы можем вычислить количество трезвучий, в которых нет соседних нот, как разницу между общим количеством и количеством трезвучий, где есть хотя бы две соседние ноты:

$$A = A_7^3 — (N_1 — N_2) = 210 — (120 — 10) = 210 — 110 = 100$$

Ответ для пункта (г): 100 трезвучий, в которых не идут подряд две соседние ноты.

Итоговые ответы:

а) 210

б) 35

в) 15

г) 100