ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

«Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут:

a) выбрать каждый для себя по одному инструменту из 15 данных;

б) выбрать набор из пяти инструментов из имеющихся 12 инструментов;

в) сесть по одному за какие-то четыре из выбранных в пункте б) инструмента;

г) выгнать одного из участников квартета, и потом сесть за какие-то три выбранных в пункте б) инструмента?

Четыре участника захотели сыграть квартет;

а) Вариантов выбора по одному инструменту из 15 данных:
$A_{15}^4 = \frac{15!}{(15-4)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11!} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 = 32760;$

б) Вариантов выбора набора из пяти инструментов из 12 данных:
$C_{12}^5 = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7!} = 6 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 792;$

в) Вариантов сесть по одному за 4 из 5 выбранных инструментов:
$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{1!} = 120;$

г) Вариантов 3 участникам сесть за 3 из 5 выбранных инструментов:
$m = 4 — \text{варианта выгнать одного участника};$
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 — \text{вариантов рассадки};$
$A = 4 \cdot A_5^3 = 4 \cdot 60 = 240;$

Ответ: а) 32760; б) 792; в) 120; г) 240.

Четыре участника хотят сыграть квартет. Рассмотрим различные варианты выбора инструментов и рассадки участников. У нас есть 15 инструментов, и нужно рассчитать количество возможных вариантов для разных ситуаций.

а) Варианты выбора по одному инструменту из 15

Задача состоит в том, чтобы выбрать 4 инструмента из 15, при этом каждый инструмент выбирается по одному, и порядок выбора важен. Это типичная задача на размещение (перестановку с повторениями).

Формула для размещений:

Формула для размещений $A_n^k$ (когда мы выбираем $k$ объектов из $n$, и порядок имеет значение) выглядит следующим образом:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

где:

• $n$ — общее количество объектов (в данном случае инструментов), $n = 15$,
• $k$ — количество объектов, которые нужно выбрать (в данном случае инструментов), $k = 4$.

Подставляем числа:

$$A_{15}^4 = \frac{15!}{(15-4)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11!}$$

Здесь мы видим, что $11!$ сокращается, и остается:

$$A_{15}^4 = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12$$

Теперь перемножим числа:

$$A_{15}^4 = 15 \cdot 14 = 210$$ $$210 \cdot 13 = 2730$$ $$2730 \cdot 12 = 32760$$

Ответ: 32760 вариантов.

б) Варианты выбора набора из 5 инструментов из 12

Теперь нужно выбрать 5 инструментов из 12, при этом порядок не имеет значения. Это типичная задача на сочетания (выборка без учета порядка).

Формула для сочетаний:

Формула для сочетаний $C_n^k$ (когда мы выбираем $k$ объектов из $n$, и порядок не имеет значения) выглядит следующим образом:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

где:

• $n = 12$ — общее количество инструментов,
• $k = 5$ — количество инструментов, которые нужно выбрать.

Подставляем числа:

$$C_{12}^5 = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{5! \cdot 7!}$$

Здесь мы видим, что $7!$ сокращается, и остается:

$$C_{12}^5 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5!}$$

Теперь вычислим $5!$:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$

Подставляем это значение:

$$C_{12}^5 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{120}$$

Выполним умножение чисел в числителе:

$$12 \cdot 11 = 132$$ $$132 \cdot 10 = 1320$$ $$1320 \cdot 9 = 11880$$ $$11880 \cdot 8 = 95040$$

Теперь делим:

$$C_{12}^5 = \frac{95040}{120} = 792$$

Ответ: 792 варианта.

в) Варианты сесть по одному за 4 из 5 выбранных инструментов

Теперь, когда мы выбрали 5 инструментов, нам нужно посадить 4 участника за 4 выбранных инструмента, при этом порядок размещения участников имеет значение. Это также задача на размещение.

Формула для размещений:

Формула для размещений $A_n^k$ остается той же:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

где:

• $n = 5$ — количество выбранных инструментов,
• $k = 4$ — количество участников.

Подставляем числа:

$$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!}$$

Вычислим $5!$:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$

Тогда:

$$A_5^4 = \frac{120}{1} = 120$$

Ответ: 120 вариантов.

г) Варианты 3 участникам сесть за 3 из 5 выбранных инструментов

В этой задаче нужно рассадить 3 участников за 3 из 5 выбранных инструментов, при этом существует возможность выгнать одного участника, то есть он не будет участвовать в игре.

Шаг 1: Определение числа вариантов рассадки 3 участников за 3 инструмента

Для начала посчитаем, сколько существует вариантов посадить 3 участников за 3 инструмента. Это также задача на размещение, но уже из 5 инструментов, при этом нам нужно выбрать 3 инструмента для 3 участников.

$$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$$

Шаг 2: Учет выгнанного участника

Поскольку из 4 участников нужно выбрать одного, который не будет участвовать в игре, существует 4 варианта для того, чтобы выгнать одного участника.

Общее количество вариантов:

$$A = 4 \cdot A_5^3 = 4 \cdot 60 = 240$$

Ответ: 240 вариантов.

Ответ на задачу:

а) 32760

б) 792

в) 120

г) 240