ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Из колоды в 36 карт выбирают 5 карт и потом одновременно открывают их. Найдите:

a) число всех возможных вариантов выбранных карт;

б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть четыре туза;

в) число вариантов, при которых все полученные карты — пики;

г) число вариантов, при которых все полученные карты — одной масти.

Из колоды в 36 карт выбирают 5 карт;

а) Число всех возможных вариантов выбранных карт:

$$C_{36}^5 = \frac{36!}{5! \cdot (36-5)!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 31!} = 9 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 11 \cdot 32 = 376 \, 992;$$

б) Число вариантов, при которых выбраны четыре туза:

$$k = 5 — 4 = 1 — \text{остается выбрать карт};$$ $$n = 36 — 4 = 32 — \text{остается карт в выборке};$$ $$C_{32}^1 = \frac{32!}{1! \cdot (32-1)!} = \frac{32 \cdot 31!}{31!} = 32;$$

в) Число вариантов, при которых все полученные карты — пики:

$$n = \frac{36}{4} = 9 — \text{остается карт в выборке};$$ $$C_9^5 = \frac{9!}{5! \cdot (9-5)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 126;$$

г) Число вариантов, при которых все полученные карты одной масти:

$$n = \frac{36}{4} = 9 — \text{остается карт в выборке};$$ $$C_9^5 = \frac{9!}{5! \cdot (9-5)!} = \frac{3024}{24} = 126 — \text{вариантов выбора для каждой масти};$$ $$A = 4 \cdot C_9^5 = 4 \cdot 126 = 504;$$

Ответ: а) 376 992; б) 32; в) 126; г) 504.

Из колоды из 36 карт выбираются 5 карт. Нужно посчитать несколько вероятностных и комбинаторных величин:

а) Число всех возможных вариантов выбранных карт:

Для начала рассмотрим, сколько существует способов выбрать 5 карт из 36 возможных. Это типичная задача на сочетания, где порядок не важен.

Формула для сочетаний $C_n^k$ (число сочетаний из $n$ элементов по $k$) выглядит следующим образом:

$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!}$$

где:

• $n!$ — факториал числа $n$,
• $k!$ — факториал числа $k$,
• $(n — k)!$ — факториал разницы $n — k$.

В нашем случае $n = 36$ (общее количество карт в колоде), $k = 5$ (количество карт, которые нужно выбрать). Подставляем в формулу:

$$C_{36}^5 = \frac{36!}{5! \cdot (36-5)!} = \frac{36!}{5! \cdot 31!}$$

Теперь упростим выражение. Заметим, что $36! = 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31!$, и $31!$ можно сократить:

$$C_{36}^5 = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$

Посчитаем числитель:

$$36 \cdot 35 = 1260$$ $$1260 \cdot 34 = 42840$$ $$42840 \cdot 33 = 1413720$$ $$1413720 \cdot 32 = 45239040$$

Теперь считаем знаменатель:

$$5 \cdot 4 = 20$$ $$20 \cdot 3 = 60$$ $$60 \cdot 2 = 120$$ $$120 \cdot 1 = 120$$

Теперь делим числитель на знаменатель:

$$C_{36}^5 = \frac{45239040}{120} = 376992$$

Ответ для пункта а):

$$\boxed{376992}$$

б) Число вариантов, при которых выбраны четыре туза:

В данном случае, мы выбираем 5 карт, и одно из условий — из этих 5 карт должны быть 4 туза.

1. В колоде 36 карт, из которых 4 туза. Из этих 4 туза мы должны выбрать все 4 карты.

   Количество способов выбрать 4 туза из 4:

   $$C_4^4 = \frac{4!}{4! \cdot (4-4)!} = 1$$

   Это означает, что 4 туза выбираются единственным способом.

2. После того, как мы выбрали 4 туза, остается выбрать еще 1 карту. Но теперь у нас есть 32 карты, в которых нет тузов. Таким образом, количество способов выбрать 1 карту из оставшихся 32 карт:

   $$C_{32}^1 = \frac{32!}{1! \cdot (32-1)!} = 32$$

Теперь, общее количество вариантов будет равно произведению способов выбрать 4 туза и способов выбрать 1 карту из оставшихся 32 карт:

$$C_4^4 \cdot C_{32}^1 = 1 \cdot 32 = 32$$

Ответ для пункта б):

$$\boxed{32}$$

в) Число вариантов, при которых все полученные карты — пики:

В колоде 36 карт, и в каждой масти (пики, черви, бубны, трефы) по 9 карт.

Нам нужно выбрать 5 карт, и все они должны быть пики. Следовательно, мы выбираем 5 карт из 9 карт, которые являются пиками.

Используем формулу для сочетаний:

$$C_9^5 = \frac{9!}{5! \cdot (9-5)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2}$$

Посчитаем числитель:

$$9 \cdot 8 = 72$$ $$72 \cdot 7 = 504$$ $$504 \cdot 6 = 3024$$

Теперь считаем знаменатель:

$$4 \cdot 3 = 12$$ $$12 \cdot 2 = 24$$

Теперь делим числитель на знаменатель:

$$C_9^5 = \frac{3024}{24} = 126$$

Ответ для пункта в):

$$\boxed{126}$$

г) Число вариантов, при которых все полученные карты одной масти:

В колоде 36 карт, и каждая масть состоит из 9 карт. Нам нужно выбрать 5 карт, которые все принадлежат одной масти.

1. Для каждой масти существует $C_9^5$ способов выбрать 5 карт. Мы уже вычислили, что это равно 126 для одной масти.
2. Так как карт в колоде 4 масти (пики, черви, бубны, трефы), то для каждой из мастей есть 126 вариантов. Таким образом, общее количество вариантов для всех мастей равно:

$$4 \cdot C_9^5 = 4 \cdot 126 = 504$$

Ответ для пункта г):

$$\boxed{504}$$

Итоговые ответы:

а) 376 992
б) 32
в) 126
г) 504