ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По программе в концерте должен выступить хор из пяти певцов и трех певиц. Предварительное согласие на выступление дали 10 певцов и 8 певиц.

a) Сколько существует различных вариантов состава хора?

б) То же, но если известно, что певцы A и Б ни за что не будут петь вместе.

в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В.

г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и вместо недостающего певца придется выступать одной певице.

Выступают пять певцов из десяти и три певицы из восьми;

Всего способов выбрать певцов:

$$C_{10}^5 = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 252;$$

Всего способов выбрать певиц:

$$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 5!} = 8 \cdot 7 = 56;$$

а) Общее число различных вариантов состава хора:

$$A = C_{10}^5 \cdot C_8^3 = 252 \cdot 56 = 14 \, 112;$$

б) Общее число вариантов, если два певца не хотят петь вместе:

$$k = 5 — 2 = 3 \quad \text{— остается выбрать певцов};$$ $$n = 10 — 2 = 8 \quad \text{— остается певцов в выборке};$$ $$C_8^3 = 56 \quad \text{— вариантов выбора певцов исключается};$$ $$A = \left(C_{10}^5 — C_8^3\right) \cdot C_8^3 = (252 — 56) \cdot 56 = 196 \cdot 56 = 10 \, 976;$$

в) Общее число вариантов, если один из певцов будет петь тогда и только тогда, когда будет петь конкретная певица:

Вариантов выбора, если этот певец и певица будут петь в хоре:

$$C_9^4 = \frac{9!}{4! \cdot (9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5!} = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 126;$$ $$C_7^2 = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 5!} = 7 \cdot 3 = 21;$$

Вариантов выбора, если певец и певица не будут петь в хоре:

$$C_9^5 = \frac{9!}{5! \cdot (9-5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5!} = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 126;$$ $$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 4!} = 7 \cdot 5 = 35;$$

Всего вариантов:

$$A = C_9^4 \cdot C_7^2 + C_9^5 \cdot C_7^3 = 126 \cdot 21 + 126 \cdot 35 = 2646 + 4410 = 7056;$$

г) Общее число вариантов, если 6 певцов не могут петь, и поэтому вместо недостающего певца будет выступать певица:

$$n = 7 — 1 = 6 \quad \text{— остается певиц в выборке};$$ $$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 4!} = 7 \cdot 5 = 35;$$ $$N_1 = 8 \quad \text{способов выбрать заменяющую певицу};$$ $$A = N_1 \cdot C_7^3 = 8 \cdot 35 = 280;$$

Ответ: а) 14 112; б) 10 976; в) 7056; г) 280.

В концерте должен выступить хор из 5 певцов и 3 певиц. Предварительное согласие на выступление дали 10 певцов и 8 певиц. Необходимо найти количество различных вариантов состава хора для нескольких ситуаций.

Обозначения

• Певцы: 10 человек.
• Певицы: 8 человек.
• В хоре должно быть 5 певцов и 3 певицы.

a) Сколько существует различных вариантов состава хора?

Для нахождения общего числа вариантов состава хора, нужно выбрать 5 певцов из 10 и 3 певицы из 8. Сначала посчитаем количество способов выбрать певцов и певиц, а затем найдем произведение этих количеств.

Выбор 5 певцов из 10:

Используем формулу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

$$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!}$$

Упростим выражение:

$$C_{10}^5 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 252$$

Итак, существует 252 способа выбрать 5 певцов.

Выбор 3 певиц из 8:

$$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}$$

Упростим:

$$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56$$

Итак, существует 56 способов выбрать 3 певицы.

Общее количество вариантов:

Теперь умножим количество способов выбрать певцов и певиц:

$$A = C_{10}^5 \cdot C_8^3 = 252 \cdot 56 = 14\,112$$

Ответ для пункта (а): 14 112.

б) Сколько существует различных вариантов состава хора, если известно, что певцы A и B не будут петь вместе?

В этом случае необходимо исключить те варианты, где певцы A и B выбраны вместе. Мы рассмотрим два случая:

Общее количество вариантов:

Как уже было найдено, общее количество способов выбрать 5 певцов из 10 и 3 певиц из 8 без каких-либо ограничений равно:

$$A = 252 \cdot 56 = 14\,112$$

Количество вариантов, где певцы A и B выбраны вместе:

Если певцы A и B выбраны вместе, то нам нужно выбрать еще 3 певцов из оставшихся 8. Количество способов выбрать 3 певцов из 8:

$$C_8^3 = 56$$

Общее количество вариантов с учетом ограничения:

Теперь исключим варианты, где певцы A и B выбраны вместе:

$$A_{\text{ограниченный}} = (C_{10}^5 — C_8^3) \cdot C_8^3 = (252 — 56) \cdot 56 = 196 \cdot 56 = 10\,976$$

Ответ для пункта (б): 10 976.

в) Сколько существует различных вариантов состава хора, если известно, что певец A будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица B?

В этом случае у нас есть два варианта:

Певец A и певица B поют вместе в хоре:

Если певец A и певица B участвуют в хоре, нам нужно выбрать 4 певцов из оставшихся 9 (так как певец A уже выбран) и 2 певиц из оставшихся 7 (так как певица B уже выбрана).

• Количество способов выбрать 4 певцов из 9:

$$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$$

• Количество способов выбрать 2 певиц из 7:

$$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$$

Таким образом, общее количество вариантов для этого случая:

$$126 \cdot 21 = 2\,646$$

Певец A и певица B не участвуют в хоре:

Если певец A и певица B не участвуют в хоре, нам нужно выбрать 5 певцов из оставшихся 9 и 3 певиц из оставшихся 7.

• Количество способов выбрать 5 певцов из 9:

$$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$$

• Количество способов выбрать 3 певиц из 7:

$$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$

Таким образом, общее количество вариантов для этого случая:

$$126 \cdot 35 = 4\,410$$

Общее количество вариантов:

Теперь сложим оба случая:

$$A_{\text{общий}} = 2\,646 + 4\,410 = 7\,056$$

Ответ для пункта (в): 7 056.

г) Сколько существует различных вариантов состава хора, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и вместо недостающего певца придется выступать одной певице?

В этом случае 6 певцов не могут участвовать в хоре, и нам нужно выбрать 5 певцов и 3 певиц, при этом одного из певиц заменяет певица.

Выбор 3 певиц из 8:

Поскольку нам нужно выбрать 3 певиц, то количество способов выбрать 3 певиц из 8 равно:

$$C_8^3 = 56$$

Выбор 2 певиц из оставшихся 7 (заменяющая певица):

Так как один певец заменен певицей, нам нужно выбрать 2 певиц из оставшихся 7:

$$C_7^2 = 21$$

Общее количество вариантов:

Таким образом, общее количество вариантов будет:

$$A = 8 \cdot C_7^3 = 8 \cdot 35 = 280$$

Ответ для пункта (г): 280.

Итоговые ответы:

а) 14 112

б) 10 976

в) 7 056

г) 280