ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Каждую из n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника, соединили отрезками с каждой другой вершиной.

a) Сколько провели отрезков?

б) Сколько провели диагоналей?

в) Сколько есть двузвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной В?

г) Сколько есть трехзвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной В (самопересекающиеся ломаные допускаются)?

Каждую из $n$ точек — вершин выпуклого $n$-угольника соединили отрезками с каждой другой вершиной;

а) Всего провели отрезков:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2};$

б) Всего провели диагоналей:
$N = n — 2 — 1 = n — 3 \text{ — остается вершин для каждой точки; }$
$A = \frac{n(n-3)}{2};$

в) Всего двузвенных ломаных, соединяющих вершины $A$ и $B$:
$N_1 = n — 1 — 1 = n — 2 \text{ — вариантов первого звена; }$
$N_2 = 1 \text{ — вариант второго звена; }$
$A = N_1 \cdot N_2 = n — 2;$

г) Всего трехзвенных ломаных, соединяющих вершины $A$ и $B$:
$N_1 = n — 1 — 1 = n — 2 \text{ — вариантов первого звена; }$
$N_2 = n — 1 — 1 — 1 = n — 3 \text{ — вариантов второго звена; }$
$N_3 = 1 \text{ — вариант третьего звена; }$
$A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = (n-2)(n-3);$

Ответ: а) $\frac{n(n-1)}{2}$; б) $\frac{n(n-3)}{2}$; в) $n-2$; г) $(n-2)(n-3)$.

У нас есть выпуклый $n$-угольник, у которого есть $n$ вершин. Каждая из этих вершин соединена с другими отрезками, диагоналями и ломаными, с учетом различных видов соединений, например, двузвенных и трехзвенных ломаных.

а) Сколько провели отрезков?

Отрезок — это линия, соединяющая две любые разные вершины многогранника. Таким образом, чтобы найти общее количество отрезков, нужно посчитать все возможные пары вершин, которые могут быть соединены отрезком.

Число всех возможных пар вершин: Чтобы выбрать пару вершин из $n$, используем сочетания:

$$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$$

Здесь $C_n^2$ — это количество сочетаний из двух элементов, то есть количество способов выбрать пару вершин из $n$.

Таким образом, всего отрезков будет:

$$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$$

б) Сколько провели диагоналей?

Диагональ — это отрезок, который соединяет две вершины, но не является стороной многоугольника.

1. Общее количество отрезков: Как мы уже посчитали, общее количество отрезков в выпуклом $n$-угольнике равно $\frac{n(n-1)}{2}$.
2. Количество сторон многоугольника: В выпуклом $n$-угольнике есть $n$ сторон.
3. Количество диагоналей: Чтобы найти количество диагоналей, нужно из общего числа отрезков вычесть количество сторон:

   $$\text{Диагонали} = \frac{n(n-1)}{2} — n = \frac{n(n-1)}{2} — \frac{2n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$$

Итак, количество диагоналей:

$$\frac{n(n-3)}{2}$$

в) Сколько есть двузвенных ломаных, соединяющих вершину $A$ с вершиной $B$?

Двузвенная ломаная — это линия, состоящая из двух отрезков. Для того чтобы найти количество таких ломаных, нужно представить, что мы строим ломаную, которая состоит из двух отрезков: первого, соединяющего вершину $A$ с какой-то вершиной $C$, и второго, соединяющего вершину $C$ с вершиной $B$.

1. Количество вариантов для первого звена: Чтобы выбрать вершину $C$, которая будет первой точкой ломаной, из $n$ вершин нужно исключить $A$ и $B$. То есть остается $n — 2$ вариантов.
2. Количество вариантов для второго звена: После того как выбрана вершина $C$, ломаная будет соединять $C$ с $B$, причем вариантов для второго звена только один — это соединение вершины $C$ с $B$.

Итак, количество двузвенных ломаных:

$$A = (n — 2) \times 1 = n — 2$$

г) Сколько есть трехзвенных ломаных, соединяющих вершину $A$ с вершиной $B$?

Трехзвенная ломаная — это линия, состоящая из трех отрезков. Чтобы найти количество таких ломаных, нужно построить ломаную, состоящую из трёх отрезков: первого, второго и третьего. Мы должны выбрать две дополнительные вершины, через которые ломаная будет проходить, помимо вершин $A$ и $B$.

1. Количество вариантов для первого звена: Чтобы выбрать вершину $C$, которая будет первой точкой ломаной, из $n$ вершин нужно исключить $A$ и $B$. То есть остаётся $n — 2$ вариантов для первой вершины.
2. Количество вариантов для второго звена: Теперь для второго звена мы выбираем вершину $D$, которая должна быть между $C$ и $B$. Для этого нужно исключить уже выбранные вершины $A$, $C$ и $B$. То есть остаётся $n — 3$ вариантов для второй вершины.
3. Количество вариантов для третьего звена: После выбора $C$ и $D$, ломаная будет соединять $D$ с $B$, и для третьего звена вариант только один — это соединение $D$ с $B$.

Итак, количество трехзвенных ломаных:

$$A = (n — 2) \times (n — 3) \times 1 = (n — 2)(n — 3)$$

Ответ:

а) Всего отрезков: $\frac{n(n-1)}{2}$

б) Всего диагоналей: $\frac{n(n-3)}{2}$

в) Всего двузвенных ломаных: $n — 2$

г) Всего трехзвенных ломаных: $(n — 2)(n — 3)$