ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что последовательность $\frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4}$, $n = 3, 4, 5, \ldots$, монотонно возрастает.

б) Докажите, что все члены этой последовательности больше числа 4.

в) Укажите наименьший номер, начиная с которого члены этой последовательности будут больше 20.

г) Найдите предел этой последовательности при $n \to \infty$.

$$\frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4} = \frac{(n+1)!}{(n+1-4)!} : \frac{(n+2)!}{4! \cdot (n+2-4)!} = \frac{(n+1)!}{(n-3)!} \cdot \frac{4! \cdot (n-2)!}{(n+2)!} =$$ $$= \frac{(n+1)!}{(n-3)!} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (n-2)(n-3)!}{(n+2)(n+1)!} = 24 \cdot \frac{n-2}{n+2}, \text{ где } n = 3, 4, 5, \ldots;$$

а) Докажем, что функция монотонно возрастает:

$$24 \cdot \frac{n-2}{n+2} = 24 \cdot \left( \frac{n+2-4}{n+2} \right) = 24 \cdot \left( 1 — \frac{4}{n+2} \right);$$ $$n \geq 3 — \text{возрастает};$$ $$n+2 > 1 — \text{возрастает};$$ $$\frac{4}{n+2} < 1 — \text{убывает};$$

Значит функция монотонно возрастает;

б) Докажем, что все члены последовательности больше числа 4:

$$24 \cdot \left( 1 — \frac{4}{3+2} \right) = 24 \cdot \left( 1 — \frac{4}{5} \right) = 24 \cdot \frac{1}{5} = 4 \frac{4}{5} > 4;$$

в) Наименьший номер, начиная с которого все члены больше 20:

$$24 \cdot \frac{n-2}{n+2} > 20;$$ $$24(n-2) > 20(n+2);$$ $$24n — 48 > 20n + 40;$$ $$4n > 88, \text{ отсюда } n > 22;$$

Ответ: $n = 23$.

г) Предел последовательности при $n \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} 24 \cdot \frac{n-2}{n+2} = \lim_{x \to \infty} 24 \cdot \frac{1 — \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = 24 \cdot \frac{1-0}{1+0} = 24 \cdot 1 = 24;$$

Ответ: 24.

Задача состоит из нескольких частей. Давайте подробно разберём каждую.

$$\frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4} = \frac{(n+1)!}{(n+1-4)!} : \frac{(n+2)!}{4! \cdot (n+2-4)!}$$

Шаг 1: Упростим выражение.

Рассмотрим первую дробь $\frac{(n+1)!}{(n+1-4)!}$ и вторую дробь $\frac{(n+2)!}{4! \cdot (n+2-4)!}$:

Первая дробь:

$$\frac{(n+1)!}{(n+1-4)!} = \frac{(n+1)!}{(n-3)!}$$

Вторая дробь:

$$\frac{(n+2)!}{4! \cdot (n+2-4)!} = \frac{(n+2)!}{4! \cdot (n-2)!}$$

Таким образом, исходное выражение будет выглядеть следующим образом:

$$\frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4} = \frac{(n+1)!}{(n-3)!} \cdot \frac{4! \cdot (n-2)!}{(n+2)!}$$

Шаг 2: Упростим дальше.

Рассмотрим более внимательно каждую часть выражения:

Первая часть: $\frac{(n+1)!}{(n-3)!}$. Это можно записать как:

$$\frac{(n+1)!}{(n-3)!} = (n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot n$$

Вторая часть: $\frac{4! \cdot (n-2)!}{(n+2)!}$. В этом выражении можно упростить факториалы:

$$4! = 24, \quad \text{и} \quad \frac{(n-2)!}{(n+2)!} = \frac{1}{(n+2)(n+1) \cdots (n+3)}$$

Таким образом, вся дробь будет выглядеть как:

$$\frac{A_{n+1}^4}{C_{n+2}^4} = 24 \cdot \frac{n-2}{n+2}$$

Шаг 3: Дальше по порядку идём к каждой части задачи.

а) Докажем, что функция монотонно возрастает.

Для того, чтобы показать, что последовательность монотонно возрастает, нужно доказать, что $f(n) = 24 \cdot \frac{n-2}{n+2}$ возрастает при увеличении $n$. Рассмотрим выражение для $f(n)$:

$$f(n) = 24 \cdot \left(1 — \frac{4}{n+2}\right)$$

Посмотрим на дробь $\frac{4}{n+2}$. Так как $n+2$ возрастает при увеличении $n$, то дробь $\frac{4}{n+2}$ будет уменьшаться, а значит, $f(n)$ будет увеличиваться. То есть:

$$f(n) \text{ возрастает, когда } n \geq 3$$

Таким образом, последовательность монотонно возрастает для всех $n \geq 3$.

б) Докажем, что все члены последовательности больше числа 4.

Нам нужно доказать, что для всех $n \geq 3$ $f(n) > 4$.

Рассмотрим выражение для $f(n)$:

$$f(n) = 24 \cdot \left(1 — \frac{4}{n+2}\right)$$

Подставим $n = 3$ и вычислим:

$$f(3) = 24 \cdot \left(1 — \frac{4}{3+2}\right) = 24 \cdot \left(1 — \frac{4}{5}\right) = 24 \cdot \frac{1}{5} = 4.8 > 4$$

Для $n > 3$ значение $\frac{4}{n+2}$ будет уменьшаться, а значит, $f(n)$ будет ещё больше. Таким образом, для всех $n \geq 3$, $f(n) > 4$.

в) Наименьший номер, начиная с которого все члены больше 20.

Нам нужно найти наименьшее значение $n$, для которого $f(n) > 20$. Решим неравенство:

$$24 \cdot \frac{n-2}{n+2} > 20$$

Умножим обе части неравенства на $n+2$ (так как $n+2 > 0$ для всех $n \geq 3$):

$$24(n-2) > 20(n+2)$$

Раскроем скобки:

$$24n — 48 > 20n + 40$$

Теперь перенесём все члены, содержащие $n$, в одну сторону, а числа — в другую:

$$24n — 20n > 40 + 48$$ $$4n > 88$$ $$n > 22$$

Таким образом, наименьший номер, начиная с которого все члены больше 20, — это $n = 23$.

г) Предел последовательности при $n \to \infty$.

Нам нужно найти предел последовательности:

$$\lim_{n \to \infty} 24 \cdot \frac{n-2}{n+2}$$

Поделим числитель и знаменатель на $n$:

$$\lim_{n \to \infty} 24 \cdot \frac{1 — \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = 24 \cdot \frac{1 — 0}{1 + 0} = 24$$

Таким образом, предел последовательности при $n \to \infty$ равен 24.

Ответ:

а) Последовательность монотонно возрастает.

б) Все члены последовательности больше числа 4.

в) Наименьший номер, начиная с которого все члены больше 20, равен $n = 23$.

г) Предел последовательности при $n \to \infty$ равен 24.