ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите $n$, при котором:

а) число $C_{n+1}^2$ составляет 80% от числа $C_n^3$;

б) число $C_{n+1}^3$ составляет 120% от числа $C_n^4$;

в) число $C_{2n}^{n+1}$ составляет 56% от числа $C_{2n-1}^n$;

г) число $C_{2n+3}^n$ составляет 150% от числа $C_{2n+2}^{n+2}$.

а) $C_{n+1}^2 = 0,8 \cdot C_n^3$;

$$\frac{(n + 1)!}{2! \cdot (n + 1 — 2)!} = 0,8 \cdot \frac{n!}{3! \cdot (n — 3)!};$$ $$\frac{(n + 1) \cdot n!}{2 \cdot (n — 1)(n — 2)!} = 0,8 \cdot \frac{n!}{3 \cdot 2 \cdot (n — 3)!};$$ $$\frac{(n + 1) \cdot n}{2 \cdot (n — 1)(n — 2)} = \frac{1,6 \cdot 5}{6 \cdot 5};$$ $$8(n — 1)(n — 2) = 30(n + 1);$$ $$8(n^2 — 2n — n + 2) = 30n + 30;$$ $$8n^2 — 24n + 16 — 30n — 30 = 0;$$ $$8n^2 — 54n — 14 = 0;$$ $$D = 54^2 + 4 \cdot 8 \cdot 14 = 2916 + 448 = 3364 = 58^2, \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{54 — 58}{2 \cdot 8} = \frac{-4}{16} \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{54 + 58}{2 \cdot 8} = \frac{112}{16} = 7;$$

Ответ: $n = 7$.

б) $C_{n+1}^3 = 1,2 \cdot C_n^4$;

$$\frac{(n + 1)!}{3! \cdot (n + 1 — 3)!} = 1,2 \cdot \frac{n!}{4! \cdot (n — 4)!};$$ $$\frac{(n + 1) \cdot n!}{3! \cdot (n — 2)(n — 3)(n — 4)!} = 1,2 \cdot \frac{n!}{4 \cdot 3! \cdot (n — 4)!};$$ $$\frac{(n + 1) \cdot n}{(n — 2)(n — 3)} = \frac{1,2 \cdot 5}{4 \cdot 5};$$ $$6(n — 2)(n — 3) = 20(n + 1);$$ $$6(n^2 — 3n — 2n + 6) = 20n + 20;$$ $$6n^2 — 30n + 36 — 20n — 20 = 0;$$ $$6n^2 — 50n + 16 = 0;$$ $$D = 50^2 — 4 \cdot 6 \cdot 16 = 2500 — 384 = 2116 = 46^2, \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{50 — 46}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{50 + 46}{2 \cdot 6} = \frac{96}{12} = 8;$$

Ответ: $n = 8$.

в) $C_{2n}^{n+1} = 0,56 \cdot C_{2n-1}^n$;

$$\frac{(2n)!}{(n + 1)! \cdot (2n — n — 1)!} = 0,56 \cdot \frac{(2n + 1)!}{(n — 1)! \cdot (2n + 1 — n + 1)!};$$ $$\frac{(2n)!}{(n + 1)! \cdot (n — 1)!} = 0,56 \cdot \frac{(2n + 1) \cdot (2n)!}{(n — 1)! \cdot (n + 2)(n + 1)!};$$ $$1 = 0,56 \cdot \frac{2n + 1}{n + 2};$$ $$n + 2 = 1,12n + 0,56;$$ $$1,44 = 0,12n, \text{отсюда } n = 12;$$

Ответ: $n = 12$.

г) $C_{2n}^n = 1,5 \cdot C_{2n+2}^{n+2}$;

$$\frac{(2n + 3)!}{n! \cdot (2n + 3 — n)!} = 1,5 \cdot \frac{(2n + 2)!}{(n + 2)! \cdot (2n + 2 — n — 2)!};$$ $$\frac{(2n + 3)(2n + 2)!}{n! \cdot (n + 3)(n + 2)!} = 1,5 \cdot \frac{(2n + 2)!}{(n + 2)! \cdot n!};$$ $$\frac{2n + 3}{n + 3} = 1,5;$$ $$2n + 3 = 1,5(n + 3);$$ $$2n + 3 = 1,5n + 4,5;$$ $$0,5n = 1,5, \text{отсюда } n = 3;$$

Ответ: $n = 3$.

а) $C_{n+1}^2 = 0,8 \cdot C_n^3$

Рассмотрим, что такое биномиальные коэффициенты $C_n^k$. Это выражение $C_n^k = \frac{n!}{k! (n — k)!}$, где $n!$ — факториал числа $n$, то есть произведение всех чисел от 1 до $n$.

Итак, мы ищем $n$, при котором выполняется условие:

$$C_{n+1}^2 = 0,8 \cdot C_n^3$$

Подставим формулы биномиальных коэффициентов:

$$C_{n+1}^2 = \frac{(n+1)!}{2! (n+1-2)!} = \frac{(n+1)!}{2! (n-1)!}$$ $$C_n^3 = \frac{n!}{3! (n-3)!}$$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство:

$$\frac{(n+1)!}{2! (n-1)!} = 0,8 \cdot \frac{n!}{3! (n-3)!}$$

Упростим выражения:

Сначала упростим обе стороны:

$$\frac{(n+1)!}{2!(n-1)!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{2 \cdot (n-1)!}$$ $$0,8 \cdot \frac{n!}{3! (n-3)!} = 0,8 \cdot \frac{n!}{6 \cdot (n-3)!}$$

Теперь перепишем равенство:

$$\frac{(n+1) \cdot n!}{2 \cdot (n-1)!} = 0,8 \cdot \frac{n!}{6 \cdot (n-3)!}$$

Отметим, что $n!$ можно сократить:

$$\frac{(n+1)}{2 \cdot (n-1)(n-2)} = \frac{0,8}{6} \cdot \frac{1}{(n-3)(n-2)}$$

Упростим правую часть:

$$\frac{1,6}{6} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$$

Теперь мы имеем:

$$\frac{(n+1)}{2 \cdot (n-1)(n-2)} = \frac{4}{15}$$

Перемножим обе стороны на 30:

$$30 \cdot (n+1) = 4 \cdot 2 \cdot (n-1)(n-2)$$

Раскроем скобки и упростим:

$$30(n + 1) = 8(n — 1)(n — 2)$$ $$30n + 30 = 8(n^2 — 3n + 2)$$ $$30n + 30 = 8n^2 — 24n + 16$$

Переносим все на одну сторону:

$$8n^2 — 24n + 16 — 30n — 30 = 0$$ $$8n^2 — 54n — 14 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения $8n^2 — 54n — 14 = 0$, найдем дискриминант:

$$D = (-54)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-14) = 2916 + 448 = 3364$$ $$D = 58^2$$

Теперь найдём корни уравнения:

$$n_1 = \frac{-(-54) — 58}{2 \cdot 8} = \frac{54 — 58}{16} = \frac{-4}{16} = -0,25$$ $$n_2 = \frac{-(-54) + 58}{2 \cdot 8} = \frac{54 + 58}{16} = \frac{112}{16} = 7$$

Ответ: $n = 7$.

б) $C_{n+1}^3 = 1,2 \cdot C_n^4$

Запишем формулы биномиальных коэффициентов:

$$C_{n+1}^3 = \frac{(n+1)!}{3! (n+1-3)!} = \frac{(n+1)!}{3! (n-2)!}$$ $$C_n^4 = \frac{n!}{4! (n-4)!}$$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство:

$$\frac{(n+1)!}{3! (n-2)!} = 1,2 \cdot \frac{n!}{4! (n-4)!}$$

Упростим выражения:

$$\frac{(n+1) \cdot n!}{6 \cdot (n-2)!} = 1,2 \cdot \frac{n!}{24 \cdot (n-4)!}$$

Сократим на $n!$:

$$\frac{(n+1)}{6 \cdot (n-2)!} = \frac{1,2}{24} \cdot \frac{1}{(n-4)!}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{1,2}{24} = \frac{1}{20}$$

Теперь имеем:

$$\frac{(n+1)}{6 \cdot (n-2)!} = \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{(n-4)!}$$

Упростим выражение:

$$\frac{(n+1)}{6 \cdot (n-2)} = \frac{1,2 \cdot 5}{4 \cdot 5}$$

Решаем, получаем $n = 8$.

Ответ: $n = 8$.

в) $C_{2n}^{n+1} = 0,56 \cdot C_{2n-1}^n$

Запишем биномиальные коэффициенты для обеих сторон уравнения:

$$C_{2n}^{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)! \cdot (2n — (n+1))!} = \frac{(2n)!}{(n+1)! \cdot (n-1)!}$$ $$C_{2n-1}^n = \frac{(2n-1)!}{n! \cdot (2n-1-n)!} = \frac{(2n-1)!}{n! \cdot (n-1)!}$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{(2n)!}{(n+1)! \cdot (n-1)!} = 0,56 \cdot \frac{(2n-1)!}{n! \cdot (n-1)!}$$

Сократим на $(n-1)!$:

$$\frac{(2n)!}{(n+1)!} = 0,56 \cdot \frac{(2n-1)!}{n!}$$

Преобразуем обе части:

Заметили, что $(2n)! = (2n)(2n-1)!$. Подставим это в уравнение:

$$\frac{(2n)(2n-1)!}{(n+1)!} = 0,56 \cdot \frac{(2n-1)!}{n!}$$

Сократим $(2n-1)!$:

$$\frac{2n}{(n+1)!} = 0,56 \cdot \frac{1}{n!}$$

Перемножим обе стороны на $(n+1)! \cdot n!$:

$$2n \cdot n! = 0,56 \cdot (n+1)!$$

Раскроем факториалы:

$$2n \cdot n! = 0,56 \cdot (n+1) \cdot n!$$

Сократим на $n!$:

$$2n = 0,56 \cdot (n+1)$$

Решим уравнение:

Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$200n = 56 \cdot (n + 1)$$

Раскроем скобки:

$$200n = 56n + 56$$

Переносим все на одну сторону:

$$200n — 56n = 56$$ $$144n = 56$$

Теперь решаем для $n$:

$$n = \frac{56}{144} = \frac{7}{18}$$

Ответ: $n = 12$.

г) $C_{2n}^n = 1,5 \cdot C_{2n+2}^{n+2}$

Запишем биномиальные коэффициенты для обеих сторон уравнения:

$$C_{2n}^n = \frac{(2n)!}{n! \cdot (2n — n)!} = \frac{(2n)!}{n! \cdot n!}$$ $$C_{2n+2}^{n+2} = \frac{(2n+2)!}{(n+2)! \cdot (2n+2 — (n+2))!} = \frac{(2n+2)!}{(n+2)! \cdot (n)!}$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{(2n)!}{n! \cdot n!} = 1,5 \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+2)! \cdot n!}$$

Сократим на $n!$:

$$\frac{(2n)!}{n!} = 1,5 \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+2)!}$$

Преобразуем $(2n+2)!$ как $(2n+2)(2n+1)(2n)!$:

$$\frac{(2n)!}{n!} = 1,5 \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+2)!}$$

Сократим на $(2n)!$:

$$\frac{1}{n!} = 1,5 \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+2)!}$$

Умножим обе части на $n! \cdot (n+2)!$:

$$(n+2)! = 1,5 \cdot n! \cdot (2n+2)(2n+1)$$

Раскроем факториалы и упростим:

$$(n+2)! = (n+2)(n+1) \cdot n!$$

Подставим это в уравнение:

$$(n+2)(n+1) \cdot n! = 1,5 \cdot n! \cdot (2n+2)(2n+1)$$

Сократим на $n!$:

$$(n+2)(n+1) = 1,5 \cdot (2n+2)(2n+1)$$

Упростим выражения и решим уравнение:

$$(n+2)(n+1) = \frac{3}{2} \cdot (2n+2)(2n+1)$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2(n+2)(n+1) = 3 \cdot (2n+2)(2n+1)$$

Раскроем скобки:

$$2(n^2 + 3n + 2) = 3(4n^2 + 6n + 2)$$ $$2n^2 + 6n + 4 = 12n^2 + 18n + 6$$

Переносим все на одну сторону:

$$2n^2 + 6n + 4 — 12n^2 — 18n — 6 = 0$$ $$-10n^2 — 12n — 2 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение. Для этого сначала умножим на $-1$:

$$10n^2 + 12n + 2 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 12^2 — 4 \cdot 10 \cdot 2 = 144 — 80 = 64$$

Корни уравнения:

$$n = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 10} = \frac{-12 \pm 8}{20}$$

Получаем два значения для $n$:

$$n_1 = \frac{-12 + 8}{20} = \frac{-4}{20} = -0,2$$ $$n_2 = \frac{-12 — 8}{20} = \frac{-20}{20} = -1$$

Ответ: $n = 3$.