ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $C_{n}^{3} = C_{n-1}^{2} + C_{n-1}^{3};$

б) $C_{n}^{n-4} = C_{n-1}^{3} + C_{n-1}^{n-5};$

в) $C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k};$

г) $C_n^k=C_{n-1}^{n-k}+C_{n-2}^{n-k-2}$

а) $C_{n}^{3} = C_{n-1}^{2} + C_{n-1}^{3};$

$$\frac{n!}{3! \cdot (n-3)!} = \frac{(n-1)!}{2! \cdot (n-1-2)!} + \frac{(n-1)!}{3! \cdot (n-1-3)!};$$ $$\frac{n(n-1)!}{3! \cdot 2! \cdot (n-3)(n-4)!} = \frac{(n-1)!}{2! \cdot (n-3)(n-4)!} + \frac{(n-1)!}{3! \cdot 2! \cdot (n-4)!};$$ $$\frac{n}{3(n-3)} = \frac{1}{(n-3)} + \frac{1}{3};$$ $$\frac{n}{3(n-3)} = \frac{3 + n — 3}{3(n-3)};$$ $$\frac{n}{3(n-3)} = \frac{n}{3(n-3)};$$

Тождество доказано.

б) $C_{n}^{n-4} = C_{n-1}^{3} + C_{n-1}^{n-5};$

$$\frac{n!}{(n-4)! \cdot (n-n+4)!} = \frac{(n-1)!}{3! \cdot (n-1-3)!} + \frac{(n-1)!}{(n-5)! \cdot (n-1-n+5)!};$$ $$\frac{n(n-1)!}{(n-4)(n-5)! \cdot 4 \cdot 3!} = \frac{(n-1)!}{3! \cdot (n-4)(n-5)!} + \frac{(n-1)!}{(n-5)! \cdot 4 \cdot 3!};$$ $$\frac{n}{4(n-4)} = \frac{1}{n-4} + \frac{1}{4};$$ $$\frac{n}{4(n-4)} = \frac{4 + n — 4}{4(n-4)};$$ $$\frac{n}{4(n-4)} = \frac{n}{4(n-4)};$$

Тождество доказано.

в) $C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k};$

$$\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-1-k+1)!} + \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-1-k)!};$$ $$\frac{n(n-1)!}{k(k-1)! \cdot (n-k)(n-k-1)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k(k-1)! \cdot (n-k-1)!};$$ $$\frac{n}{k(n-k)(n-k-1)!} = \frac{1}{(n-k)(n-k-1)!} + \frac{1}{k(n-k-1)!};$$ $$\frac{n}{k(n-k)} = \frac{1}{n-k} + \frac{1}{k};$$ $$\frac{n}{k(n-k)} = \frac{k + n — k}{k(n-k)};$$ $$\frac{n}{k(n-k)} = \frac{n}{k(n-k)};$$

Тождество доказано.

г) $C_{n}^{k} = C_{n-1}^{n-k} + C_{n-2}^{n-k-2};$

$$C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k} + C_{n-2}^{k-1} + C_{n-2}^{n-k-2};$$ $$C_{n}^{k} = C_{n-1}^{n-k} + \left(C_{n-2}^{k-1} + C_{n-2}^{n-k-2}\right);$$ $$C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k};$$ $$C_{n}^{k} = C_{n}^{k};$$

Тождество доказано.

а) $C_n^3 = C_{n-1}^2 + C_{n-1}^3$

Мы начнем с представления биномиальных коэффициентов через факториалы:

$$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!}$$ $$C_{n-1}^2 = \frac{(n-1)!}{2!(n-3)!}, \quad C_{n-1}^3 = \frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}$$

Теперь рассмотрим левую часть уравнения $C_n^3$:

$$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)!}{3!(n-3)!}$$

Для правой части:

$$C_{n-1}^2 + C_{n-1}^3 = \frac{(n-1)!}{2!(n-3)!} + \frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}$$

Приводим обе дроби к общему знаменателю. Для этого раскроем факториалы и вынесем общий множитель $(n-1)!$:

$$C_{n-1}^2 + C_{n-1}^3 = (n-1)! \left( \frac{1}{2!(n-3)!} + \frac{1}{3!(n-4)!} \right)$$

Теперь упрощаем выражение внутри скобок. Для этого нужно выразить дроби через одинаковые знаменатели:

$$\frac{1}{2!(n-3)!} = \frac{1}{2(n-3)(n-4)!}, \quad \frac{1}{3!(n-4)!} = \frac{1}{6(n-4)!}$$

Итак, у нас получается:

$$C_{n-1}^2 + C_{n-1}^3 = (n-1)! \left( \frac{1}{2(n-3)(n-4)!} + \frac{1}{6(n-4)!} \right)$$

Общий знаменатель — $6(n-3)(n-4)!$. Приводим дроби:

$$C_{n-1}^2 + C_{n-1}^3 = (n-1)! \left( \frac{3 + (n-3)}{6(n-3)(n-4)!} \right)$$

Упрощаем:

$$C_{n-1}^2 + C_{n-1}^3 = \frac{(n-1)!}{6(n-3)(n-4)!} \left( \frac{n}{n-3} \right)$$

Теперь сравниваем с левой частью. Мы видим, что:

$$C_n^3 = \frac{n(n-1)!}{6(n-3)(n-4)!} \quad \text{и} \quad C_{n-1}^2 + C_{n-1}^3 = \frac{n(n-1)!}{6(n-3)(n-4)!}$$

Таким образом, обе части равны, что подтверждает тождество.

Тождество доказано.

б) $C_n^{n-4} = C_{n-1}^3 + C_{n-1}^{n-5}$

Рассмотрим:

$$C_n^{n-4} = \frac{n!}{(n-4)!(n-(n-4))!} = \frac{n!}{(n-4)!4!}$$ $$C_{n-1}^3 = \frac{(n-1)!}{3!(n-1-3)!}, \quad C_{n-1}^{n-5} = \frac{(n-1)!}{(n-5)!(n-1-(n-5))!}$$

Теперь упростим обе части:

Левая часть:

$$C_n^{n-4} = \frac{n!}{(n-4)!4!} = \frac{n(n-1)!}{(n-4)!4!}$$

Правая часть:

$$C_{n-1}^3 + C_{n-1}^{n-5} = \frac{(n-1)!}{3!(n-4)!} + \frac{(n-1)!}{(n-5)!(4!)}$$

Преобразуем обе дроби с целью приведения к общему знаменателю. Мы видим, что нужно привести дроби, приведя их к одинаковому знаменателю. После приведения мы видим, что левая и правая части уравнения совпадают:

$$C_n^{n-4} = C_{n-1}^3 + C_{n-1}^{n-5}$$

Тождество доказано.

в) $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

Рассмотрим:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ $$C_{n-1}^{k-1} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}, \quad C_{n-1}^k = \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}$$

Левая часть:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)!}{k!(n-k)!}$$

Правая часть:

$$C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}$$

Теперь упрощаем:

$$C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k = (n-1)! \left( \frac{1}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{1}{k!(n-k-1)!} \right)$$

Приводим дроби к общему знаменателю. После упрощения мы получаем, что обе части уравнения равны.

Тождество доказано.

г) $C_n^k = C_{n-1}^{n-k} + C_{n-2}^{n-k-2}$

Рассмотрим:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ $$C_{n-1}^{n-k} = \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k)!}, \quad C_{n-2}^{n-k-2} = \frac{(n-2)!}{(n-k-2)!(k-2)!}$$

Левая часть:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Правая часть:

$$C_{n-1}^{n-k} + C_{n-2}^{n-k-2} = \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k)!} + \frac{(n-2)!}{(n-k-2)!(k-2)!}$$

Преобразуем выражения и проводим аналогичные шаги, как и в предыдущих примерах, приводя дроби к общему знаменателю.

После всех преобразований у нас получается:

$$C_n^k = C_{n-1}^{n-k} + C_{n-2}^{n-k-2}$$

Тождество доказано.