ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выпишите треугольник Паскаля до седьмой строки включительно.

a) Найдите сумму всех чисел в третьей строке треугольника Паскаля.

б) Найдите сумму всех чисел в четвертой строке треугольника Паскаля.

в) Найдите сумму всех чисел в седьмой строке треугольника Паскаля.

г) Методом математической индукции докажите, что сумма чисел в n-й строке треугольника Паскаля равна 2n.

Первые семь строк треугольника Паскаля:

а) Сумма всех чисел в третьей строке:
$S_3=1+3+3+1=8;$

б) Сумма всех чисел в четвертой строке:
$S_4=1+4+6+4+1=16;$

в) Сумма всех чисел в седьмой строке:
$S_7=1+7+21+35+35+21+7+1=128;$

г) Рассмотрим две последовательные строки треугольника Паскаля:

1. Сумма элементов в строке с номером $n$:
   $S_n=1+a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+1=2+a_1+a_2+\cdots +a_{n-1};$
2. Сумма элементов в строке с номером $n+1$:
   $S_{n+1}=1+(1+a_1)+(a_1+a_2)+\cdots +(a_{n-2}+a_{n-1})+(a_{n-1}+1)+1=$
   $=4+2a_1+2a_2+\cdots +2a_{n-1}=2\cdot (2+a_1+a_2+\cdots +a_{n-1})=2S_n;$
3. Таким образом сумма элементов каждой следующей строки
   треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей
   строки, а так как нулевая строка состоит только из единицы (то есть $2^0$),
   то сумма чисел строки с номером $n$ равна $2^n$.

Часть 1: Треугольник Паскаля до седьмой строки включительно

Треугольник Паскаля строится так, что каждый элемент в строке равен сумме двух элементов, расположенных непосредственно выше него в предыдущей строке (или 1, если элемент находится на краю). Вот первые восемь строк треугольника Паскаля, где нулевая строка считается первой:

Часть 2: Суммы чисел в строках

а) Сумма всех чисел в третьей строке

Третья строка треугольника Паскаля:
$1,3,3,1$

Сумма чисел в третьей строке:

$$S_3=1+\mathrm{3\; +\; 3}+1=8\mathrm{}$$

б) Сумма всех чисел в четвертой строке

Четвертая строка треугольника Паскаля:
$1,4,$$\mathrm{6,}$$4,1$

Сумма чисел в четвертой строке:

$$S_4=1+4+6+\; 4\; +1=16\mathrm{}$$

в) Сумма всех чисел в седьмой строке

Седьмая строка треугольника Паскаля:

1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

Сумма чисел в седьмой строке:

Часть 3: Доказательство методом математической индукции

г) Необходимо доказать, что сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна $2^n$.

Шаг 1: База индукции

Для $n=0$ (нулевая строка):

Нулевая строка:
$1$

Сумма чисел в нулевой строке:

$$S_0=1=2^0$$

База индукции выполнена.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что для некоторого $k$ верно, что сумма чисел в $k$-й строке равна $2^k$, то есть:

$$S_k=2^k$$

Шаг 3: Индукционный шаг

Теперь необходимо доказать, что сумма чисел в $(k+1)$-й строке равна $2^{k+1}$.

Рассмотрим сумму чисел в $(k+1)$-й строке треугольника Паскаля. Согласно свойствам треугольника Паскаля, элементы $(k+1)$-й строки получаются путем сложения элементов $k$-й строки:

$$S_{k+1}=1+(1+a_1)+(a_1+a_2)+\cdots +(a_{k-1}+a_k)+(a_k+1)+1$$

Где $a_1,a_2,\dots ,a_k$ — элементы $k$-й строки. Упростим сумму:

$$S_{k+1}=4+2a_1+2a_2+\cdots +2a_k=2\cdot (2+a_1+a_2+\cdots +a_k)=2\cdot S_k$$

По индукционному предположению, $S_k=2^k$, поэтому:

$$S_{k+1}=2\cdot 2^k=2^{k+1}$$

Шаг 4: Заключение

Поскольку база индукции выполнена и индукционный шаг доказан, мы можем заключить, что для всех $n$ сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна $2^n$.