ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В разложении $\left(x + \frac{1}{x}\right)^{10}$ по степеням $x$ укажите:

а) член, содержащий $x^8$;
б) член, содержащий $x^4$;
в) член, содержащий $x^{-2}$;
г) член, не содержащий $x$.

Формула бинома Ньютона:

$$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n;$$

Десятая строка треугольника Паскаля:

$$1; 10; 45; 120; 210; 252; 210; 120; 45; 10; 1;$$

Дан многочлен:

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^{10} = C_{10}^0 \cdot x^{10} + C_{10}^1 \cdot x^9 \cdot \frac{1}{x} + C_{10}^2 \cdot x^8 \cdot \frac{1}{x^2} + C_{10}^3 \cdot x^7 \cdot \frac{1}{x^3} +$$ $$+ C_{10}^4 \cdot x^6 \cdot \frac{1}{x^4} + C_{10}^5 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{x^5} + C_{10}^6 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^6} + C_{10}^7 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{x^7} + C_{10}^8 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^8} +$$ $$+ C_{10}^9 \cdot x \cdot \frac{1}{x^9} + C_{10}^{10} \cdot \frac{1}{x^{10}};$$

а) Член, содержащий $x^8$:

$$C_{10}^1 \cdot x^9 \cdot \frac{1}{x} = 10 \cdot x^9 \cdot \frac{1}{x} = 10x^8;$$

б) Член, содержащий $x^4$:

$$C_{10}^3 \cdot x^7 \cdot \frac{1}{x^3} = 120 \cdot x^7 \cdot \frac{1}{x^3} = 120x^4;$$

в) Член, содержащий $x^{-2}$:

$$C_{10}^6 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^6} = 210 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^6} = 210x^{-2};$$

г) Член, не содержащий $x$:

$$C_{10}^5 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{x^5} = 252 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{x^5} = 252;$$

Нам нужно найти определенные члены в разложении многочлена $\left(x + \frac{1}{x}\right)^{10}$ по степеням $x$.

1. Формула бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона для разложения $(a + b)^n$ выглядит следующим образом:

$$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n,$$

где $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, выраженные как:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

В данном случае, мы имеем выражение $\left(x + \frac{1}{x}\right)^{10}$, где $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$, и нужно найти коэффициенты для определенных степеней $x$ в разложении этого многочлена.

2. Разложение $\left(x + \frac{1}{x}\right)^{10}$

Используя формулу бинома Ньютона, разложим выражение:

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^{10} = C_{10}^0 \cdot x^{10} + C_{10}^1 \cdot x^9 \cdot \frac{1}{x} + C_{10}^2 \cdot x^8 \cdot \frac{1}{x^2} + C_{10}^3 \cdot x^7 \cdot \frac{1}{x^3} +$$ $$+ C_{10}^4 \cdot x^6 \cdot \frac{1}{x^4} + C_{10}^5 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{x^5} + C_{10}^6 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^6} + C_{10}^7 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{x^7} + C_{10}^8 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^8} +$$ $$+ C_{10}^9 \cdot x \cdot \frac{1}{x^9} + C_{10}^{10} \cdot \frac{1}{x^{10}}.$$

Каждый член этого разложения имеет вид $C_{10}^k \cdot x^{10-k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_{10}^k \cdot x^{10-2k}$.

Таким образом, степень $x$ в каждом слагаемом определяется выражением $10 — 2k$, где $k$ — это индекс члена в разложении.

3. Определение членов для конкретных степеней $x$

Теперь мы можем найти те члены, которые содержат $x^8$, $x^4$, $x^{-2}$, и которые не содержат $x$.

а) Член, содержащий $x^8$

Чтобы найти член, содержащий $x^8$, нам нужно решить уравнение степени $x$:

$$10 — 2k = 8.$$

Решая его, получаем:

$$2k = 2 \quad \Rightarrow \quad k = 1.$$

Теперь подставляем $k = 1$ в выражение для общего члена:

$$C_{10}^1 \cdot x^{10-2 \cdot 1} = C_{10}^1 \cdot x^8.$$

Так как биномиальный коэффициент $C_{10}^1 = 10$, то:

$$C_{10}^1 \cdot x^8 = 10 \cdot x^8.$$

Таким образом, член, содержащий $x^8$, равен $10x^8$.

б) Член, содержащий $x^4$

Для нахождения члена, содержащего $x^4$, решим уравнение для степени $x$:

$$10 — 2k = 4.$$

Решая его, получаем:

$$2k = 6 \quad \Rightarrow \quad k = 3.$$

Теперь подставляем $k = 3$ в выражение для общего члена:

$$C_{10}^3 \cdot x^{10-2 \cdot 3} = C_{10}^3 \cdot x^4.$$

Вычисляем биномиальный коэффициент $C_{10}^3$:

$$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120.$$

Тогда:

$$C_{10}^3 \cdot x^4 = 120 \cdot x^4.$$

Таким образом, член, содержащий $x^4$, равен $120x^4$.

в) Член, содержащий $x^{-2}$

Для нахождения члена, содержащего $x^{-2}$, решим уравнение для степени $x$:

$$10 — 2k = -2.$$

Решая его, получаем:

$$2k = 12 \quad \Rightarrow \quad k = 6.$$

Теперь подставляем $k = 6$ в выражение для общего члена:

$$C_{10}^6 \cdot x^{10-2 \cdot 6} = C_{10}^6 \cdot x^{-2}.$$

Вычисляем биномиальный коэффициент $C_{10}^6$:

$$C_{10}^6 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210.$$

Тогда:

$$C_{10}^6 \cdot x^{-2} = 210 \cdot x^{-2}.$$

Таким образом, член, содержащий $x^{-2}$, равен $210x^{-2}$.

г) Член, не содержащий $x$

Для нахождения члена, не содержащего $x$, решим уравнение для степени $x$:

$$10 — 2k = 0.$$

Решая его, получаем:

$$2k = 10 \quad \Rightarrow \quad k = 5.$$

Теперь подставляем $k = 5$ в выражение для общего члена:

$$C_{10}^5 \cdot x^{10-2 \cdot 5} = C_{10}^5 \cdot x^0.$$

Вычисляем биномиальный коэффициент $C_{10}^5$:

$$C_{10}^5 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252.$$

Тогда:

$$C_{10}^5 \cdot x^0 = 252 \cdot 1 = 252.$$

Таким образом, член, не содержащий $x$, равен $252$.

Ответы:

а) Член, содержащий $x^8$: $10x^8$

б) Член, содержащий $x^4$: $120x^4$

в) Член, содержащий $x^{-2}$: $210x^{-2}$

г) Член, не содержащий $x$: $252$