ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что сумма биномиальных коэффициентов разложения $(a + b)^n$ равна 1024.

а) Найдите $n$.

б) Найдите наибольший биномиальный коэффициент этого разложения.

в) Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

г) Дайте ответы на вопросы пунктов а), б), в), если сумма биномиальных коэффициентов разложения $(a + b)^n$ равна 512.

Известно, что сумма биномиальных коэффициентов разложения $(a + b)^n$ равна 1024;

а) В задаче 48.23 было доказано, что сумма элементов $n$-ой строки треугольника Паскаля равна $2^n$, следовательно:
$2^n = 1024;$
$2^n = 2^{10};$
$n = 10;$
Ответ: 10.

б) Наибольший биномиальный коэффициент разложения находится в середине данной строки треугольника Паскаля:
$k = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5;$
$C_{10}^5 = \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 252;$
Ответ: 252.

в) Строки с четным номером содержат нечетное количество элементов, следовательно в 10 строке существует только один наибольший член;

Ответ: 1.

г) Если сумма биномиальных коэффициентов равна 512, тогда:

1. Определим число $n$:
   $2^n = 512;$
   $2^n = 2^9;$
   $n = 9;$
2. Наибольший коэффициент:
   $k = \frac{n}{2} = \frac{9}{2} \approx 3,5 = 4;$
   $C_9^4 = \binom{9}{4} = \frac{9!}{4! \cdot (9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 126;$
3. Число $n$ — четное, значит есть два таких коэффициента;

Ответ: 9; 126; два.

а) Найдите $n$.

Задача говорит, что сумма биномиальных коэффициентов разложения $(a + b)^n$ равна 1024. Напомним, что сумма всех биномиальных коэффициентов для разложения $(a + b)^n$ — это сумма элементов $n$-ой строки треугольника Паскаля. Согласно свойствам биномиальных коэффициентов, сумма всех коэффициентов в этой строке равна $2^n$, то есть:

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

В данной задаче сумма биномиальных коэффициентов равна 1024, следовательно:

$$2^n = 1024$$

Теперь найдем $n$. Мы знаем, что 1024 можно представить как степень двойки:

$$1024 = 2^{10}$$

Таким образом:

$$2^n = 2^{10}$$

Приравнивая степени двойки, получаем:

$$n = 10$$

Ответ для пункта а): $n = 10$.

б) Найдите наибольший биномиальный коэффициент этого разложения.

Биномиальные коэффициенты для разложения $(a + b)^n$ имеют симметричную структуру в строках треугольника Паскаля. Наибольшие биномиальные коэффициенты находятся в середине строки.

Так как $n = 10$, наибольший коэффициент будет в центре строки. Для четных $n$ (в данном случае $n = 10$) наибольший биномиальный коэффициент будет иметь индекс $k = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Таким образом, наибольший биномиальный коэффициент в разложении $(a + b)^{10}$ — это:

$$C_{10}^5 = \binom{10}{5}$$

Для вычисления этого коэффициента используем формулу для биномиального коэффициента:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Подставим $n = 10$ и $k = 5$:

$$\binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!}$$

Для упрощения, можно вычислить факториалы:

$$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$$ $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$

Подставим эти значения в формулу:

$$\binom{10}{5} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30240}{120} = 252$$

Ответ для пункта б): наибольший биномиальный коэффициент равен 252.

в) Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

В строках треугольника Паскаля для четных значений $n$ наибольшие коэффициенты встречаются в двух местах: в позиции $k = \frac{n}{2}$ и симметричной позиции $k = n — \frac{n}{2}$. Но так как для четных $n$ эти два значения совпадают, в разложении будет только один наибольший коэффициент.

В данном случае $n = 10$, поэтому наибольший коэффициент $C_{10}^5$ встречается только один раз.

Ответ для пункта в): 1.

г) Если сумма биномиальных коэффициентов равна 512, то найдите $n$, наибольший коэффициент и количество таких коэффициентов.

Теперь рассматриваем случай, когда сумма биномиальных коэффициентов равна 512. Снова используем правило, что сумма биномиальных коэффициентов для разложения $(a + b)^n$ равна $2^n$. Если сумма равна 512, то:

$$2^n = 512$$

Рассмотрим, какое значение степени $n$ удовлетворяет этому равенству. Зная, что $512 = 2^9$, получаем:

$$n = 9$$

Ответ для пункта 1): $n = 9$.

Теперь ищем наибольший биномиальный коэффициент. В строке треугольника Паскаля для $n = 9$ наибольший коэффициент будет в середине строки. Для нечетных $n$ максимальный коэффициент будет иметь индекс $k = \frac{9}{2} = 4.5$, что округляется до 4 или 5. Поскольку строка с нечетным $n$ имеет нечетное количество коэффициентов, наибольший коэффициент будет на двух позициях — $k = 4$ и $k = 5$.

Посчитаем $C_9^4$ и $C_9^5$:

$$\binom{9}{4} = \frac{9!}{4! \cdot (9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!}$$ $$\binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 126$$

И аналогично для $k = 5$:

$$\binom{9}{5} = \binom{9}{4} = 126$$

Ответ для пункта 2): наибольший биномиальный коэффициент равен 126.

Так как для нечетного $n$ наибольший коэффициент встречается дважды (в позициях $k = 4$ и $k = 5$), ответ для пункта 3):

Ответ для пункта 3): два.

Ответы:

а) $n = 10$

б) Наибольший биномиальный коэффициент равен 252.

в) В разложении один наибольший коэффициент.

г) Если сумма биномиальных коэффициентов равна 512, то:

• $n = 9$
• Наибольший коэффициент равен 126.
• Таких коэффициентов два.