ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите k, при котором достигается наибольшее значение выражения:

а) $C_{5}^{k}$

б) $C_{16}^{k}$

в) $C_{61}^{k}$

г) $C_{999}^{k-1} + C_{999}^{k}$

Наибольшее число находится в середине строки Паскаля;

а) $C_{5}^{k}$:

$$k = \frac{n}{2} = \frac{5}{2} \approx 2,5;$$

Ответ: $k = 2$ или $k = 3$.

б) $C_{16}^{k}$:

$$k = \frac{n}{2} = \frac{16}{2} = 8;$$

Ответ: $k = 8$.

в) $C_{61}^{k}$:

$$k = \frac{n}{2} = \frac{61}{2} \approx 30,5;$$

Ответ: $k = 30$ или $k = 31$.

г) $C_{999}^{k-1} + C_{999}^{k}$:

$$k_{\text{max}} = \frac{n}{2} = \frac{999}{2} \approx 499,5;$$

$k = 500$ и $k — 1 = 499$;

Ответ: $k = 500$.

Рассмотрим строку Паскаля. Она представлена коэффициентами бинома Ньютона и имеет вид:

$$C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, \dots, C_{n}^{n}$$

Где $C_{n}^{k}$ — это биномиальные коэффициенты, которые можно вычислить по формуле:

$$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Важно: В строке Паскаля наибольшие значения биномиальных коэффициентов расположены ближе к середине строки. Поэтому задача сводится к нахождению $k$, для которого значение $C_{n}^{k}$ максимальное.

Для четного числа $n$ максимальные коэффициенты находятся при $k = \frac{n}{2}$, а для нечетного — при $k = \frac{n-1}{2}$ или $k = \frac{n+1}{2}$, то есть два возможных значения, которые дают одинаковые биномиальные коэффициенты.

а) $C_{5}^{k}$

Шаг 1. Применяем формулу для поиска максимального значения в строке Паскаля. Для строки Паскаля с $n = 5$ максимальное значение биномиального коэффициента будет при $k = \frac{5}{2} = 2,5$. Поскольку $k$ должно быть целым числом, ближайшие значения — это $k = 2$ или $k = 3$.

Шаг 2. Проверим коэффициенты при $k = 2$ и $k = 3$, чтобы убедиться, что они максимальны.

$$C_{5}^{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$ $$C_{5}^{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 10$$

Шаг 3. Так как значения равны, максимальное значение биномиальных коэффициентов в строке Паскаля для $n = 5$ будет на позициях $k = 2$ и $k = 3$.

Ответ: $k = 2$ или $k = 3$.

б) $C_{16}^{k}$

Шаг 1. Для строки Паскаля с $n = 16$ максимальное значение биномиального коэффициента будет при $k = \frac{16}{2} = 8$.

Шаг 2. Проверим коэффициент при $k = 8$:

$$C_{16}^{8} = \frac{16!}{8!(16-8)!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 12870$$

Шаг 3. Для других значений $k$ в строке Паскаля при $n = 16$ коэффициенты будут меньше, так как максимальный коэффициент обычно находится посередине. Поскольку мы уже нашли коэффициент для $k = 8$, это и есть максимальное значение.

Ответ: $k = 8$.

в) $C_{61}^{k}$

Шаг 1. Для строки Паскаля с $n = 61$ максимальное значение биномиального коэффициента будет при $k = \frac{61}{2} = 30,5$. Поскольку $k$ должно быть целым числом, ближайшие значения — это $k = 30$ или $k = 31$.

Шаг 2. Проверим коэффициенты при $k = 30$ и $k = 31$:

$$C_{61}^{30} = \frac{61!}{30!(61-30)!} = \frac{61 \times 60 \times 59 \times \dots \times 32}{30 \times 29 \times 28 \times \dots \times 1}$$ $$C_{61}^{31} = \frac{61!}{31!(61-31)!} = \frac{61 \times 60 \times 59 \times \dots \times 31}{31 \times 30 \times 29 \times \dots \times 1}$$

На практике оба коэффициента будут равны, так как для нечетного $n$ максимальные коэффициенты равны на двух соседних позициях.

Ответ: $k = 30$ или $k = 31$.

г) $C_{999}^{k-1} + C_{999}^{k}$

Шаг 1. Для строки Паскаля с $n = 999$ максимальное значение биномиального коэффициента будет при $k = \frac{999}{2} = 499,5$, то есть при $k = 500$.

Шаг 2. Коэффициенты на позициях $k = 499$ и $k = 500$ в строке Паскаля с $n = 999$ будут максимальными, и сумма этих двух коэффициентов $C_{999}^{499} + C_{999}^{500}$ будет равна значению для $k = 500$.

Шаг 3. Проверим:

$$C_{999}^{499} = \frac{999!}{499!(999-499)!}$$ $$C_{999}^{500} = \frac{999!}{500!(999-500)!}$$

Эти два значения дают одинаковые результаты, так как они симметричны в строке Паскаля, и их сумма будет наибольшей среди всех других значений в этой строке.

Ответ: $k = 500$.

Итоговое решение:

1. $C_{5}^{k}$: $k = 2$ или $k = 3$.
2. $C_{16}^{k}$: $k = 8$.
3. $C_{61}^{k}$: $k = 30$ или $k = 31$.
4. $C_{999}^{k-1} + C_{999}^{k}$: $k = 500$.