ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В футбольной команде — 11 человек: вратарь, 4 защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих. Команда выбирает капитана и его заместителя.

a) Найдите число всех возможных вариантов выбора.

б) Найдите число всех возможных вариантов, если в команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или заместителем.

в) Найдите число всех возможных вариантов, если капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно не вратарь.

г) Найдите в пунктах a) и б), число всех возможных вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры позже будут делать окончательный выбор.

Выбирают капитана и заместителя в команде, состоящей из 11 человек: Вратаря, 4 защитников, 4 полузащитников, 2 нападающих;

а) Всего вариантов выбора (порядок важен):
$A_{11}^2=11\cdot (11-1)=11\cdot 10=110;$

б) Всего вариантов выбора, если трое человек не могут участвовать:
$n=11-3=8\text{ — остается кандидатов};$
$A_8^2=8\cdot (8-1)=8\cdot 7=56;$

в) Всего вариантов выбора, если капитан — не нападающий и его заместитель — не вратарь:
$A_1=11-1=10\text{ — вариантов выбора заместителя, если капитаном будет вратарь};$
$A_2=(4+4)\cdot (11-1-1)=8\cdot 9=72\text{— вариантов}$$$$;$
$A=A_1+A_2=10+72=82;$

г) Всего вариантов выбора, если в первых двух пунктах будут выбираться только пары кандидатов (порядок не важен):
$C_{11}^2=\frac{11\cdot (11-1)}{2}=\frac{11\cdot 10}{2}=11\cdot 5=55;$
$C_8^2=\frac{8\cdot (7-1)}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=4\cdot 7=28;$

Ответ: а) 110; б) 56; в) 82; г) 55; 28.

Команда состоит из 11 человек, среди которых:

• 1 вратарь,
• 4 защитника,
• 4 полузащитника,
• 2 нападающих.

Нужно выбрать капитана и заместителя, при этом порядок имеет значение, то есть это задача на перестановки.

а) Всего вариантов выбора (порядок важен)

Задача сводится к выбору двух человек из 11, при этом важно, кто будет капитаном, а кто заместителем. То есть, сначала выбираем капитана, а затем заместителя.

Решение:
Общее количество вариантов для выбора капитана и заместителя будет равно:

$$A_{11}^2=11\cdot (11-1)=11\cdot 10=110.$$

Здесь $A_{11}^2$ — это количество способов выбрать два человека из 11, учитывая порядок (перестановка двух человек).

б) Всего вариантов выбора, если трое человек не могут участвовать

В этом случае трое человек не могут быть выбраны, поэтому из 11 человек остаются только 8 кандидатов.

Решение:
Если трое не могут быть выбраны, то остаются только 8 человек, из которых нужно выбрать капитана и заместителя. Порядок все еще важен.

Количество вариантов будет равно:

$$A_8^2=8\cdot (8-1)=8\cdot 7=56.$$

Здесь $A_8^2$ — это количество способов выбрать двух человек из оставшихся 8, учитывая порядок.

в) Всего вариантов выбора, если капитан — не нападающий и его заместитель — не вратарь

В этом случае вводятся дополнительные ограничения:

• Капитан не может быть нападающим,
• Заместитель не может быть вратарем.

Решение:

Если капитаном является вратарь (т.е. $1$ вариант для капитана), то заместитель может быть любым из оставшихся 10 человек, кроме вратаря. То есть, 10 вариантов для заместителя.

$$A_1=10.$$

Если капитаном является кто-то из защитников или полузащитников (их 8 человек, так как защитников 4 и полузащитников 4), то заместитель не может быть вратарем, и его можно выбрать из оставшихся 9 человек. То есть, 9 вариантов для заместителя.

$$A_2=8\cdot 9=72.$$

Общее количество вариантов:

$$A=A_1+A_2=10+72=82.$$

г) Всего вариантов выбора, если в первых двух пунктах будут выбираться только пары кандидатов (порядок не важен)

В этом случае порядок не имеет значения, и нам нужно выбрать пару кандидатов без учета их порядка.

Если все 11 человек могут участвовать:
Количество способов выбрать пару из 11 человек будет равно сочетаниям $C_{11}^2$:

$$C_{11}^2=\frac{11\cdot (11-1)}{2}=\frac{11\cdot 10}{2}=55.$$

Если из 8 человек выбираем пару:
Количество способов выбрать пару из 8 человек будет равно сочетаниям $C_8^2$:

$$C_8^2=\frac{8\cdot (8-1)}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28.$$

Итак, общее количество вариантов выбора, если порядок не важен:

$$C_{11}^2=55;C_8^2=28.$$

Ответ:

а) 110

б) 56

в) 82

г) 55 и 28