ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Все станции пригородной железной дороги разделены на 10 зон, в каждой зоне более одной станции. В билете на проезд в одну сторону указывают номер зоны отправления и номер зоны прибытия.

a) Сколько существует различных типов билетов?

б) Сколько существует различных стоимостей билетов, если стоимость проезда из зоны х в зону у рассчитывается по формуле S = 7 + 6|x — у|?

в) Сколько различных типов билетов можно купить не более чем за 50 руб.?

г) Сколько существует различных типов билетов по цене, кратной 5 руб.?

Всего есть 10 зон, в каждой из которых более одной станции;
В билете указываются номера зон отправления и прибытия;

а) Всего различных типов билетов (зоны могут быть одинаковы):
$A = 10 \cdot 10 = 100$;

б) Всего различных стоимостей билетов, если:
$S = 7 + 6|x — y|$, где $x$ — зона отправления и $y$ — зона прибытия;
$|x — y| = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 10$;

в) Всего различных типов билетов стоимостью не более 50 р:
$S = 7 + 6|x — y| < 50 \quad => \quad 6|x — y| < 43$;
$|x — y| \leq 7$ — подходящая разность номеров зон;
$A_1 = 10 \cdot 10 = 100$ — всего вариантов билетов;
$N_1 = \{10 — 1; 10 — 2; 9 — 1\} \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6$ — вариантов исключается;
$A = A_1 — N_1 = 100 — 6 = 94$;

г) Всего различных типов билетов по цене кратной 5 р:
$S = 7 + 6|x — y| = x5$ или $x0 \quad => \quad 6|x — y| = x8$ или $x3$;
$|x — y| = \{3; 8\}$ — подходящая разность номеров зон;
$N = \{10 — 7; 10 — 2; 9 — 6; 9 — 1; 8 — 5; 7 — 4; 6 — 3; 5 — 2; 4 — 1\} \cdot 2$;
$N = 9 \cdot 2 = 18$;

Ответ: а) 100; б) 10; в) 94; г) 18.

Условия задачи:

• Всего существует 10 зон.
• В каждой зоне более одной станции, что, в принципе, не влияет на решение, так как в билете указываются только номера зон отправления и прибытия, а не номера станций.
• Билет на проезд в одну сторону содержит номер зоны отправления $x$ и номер зоны прибытия $y$.

Задания:

а) Сколько существует различных типов билетов?

Тип билета определяется двумя параметрами:

1. Зона отправления $x$,
2. Зона прибытия $y$.

Поскольку для каждой зоны отправления $x$ существует 10 возможных зон прибытия $y$, то для каждой из 10 зон отправления существует 10 вариантов прибытия. Таким образом, общее количество различных типов билетов, независимо от того, совпадают ли зоны отправления и прибытия, равно:

$$A = 10 \cdot 10 = 100$$

Ответ: 100 различных типов билетов.

б) Сколько существует различных стоимостей билетов, если стоимость проезда из зоны $x$ в зону $y$ рассчитывается по формуле:

$$S = 7 + 6 |x — y|$$

Здесь:

• $S$ — стоимость билета,
• $x$ — зона отправления,
• $y$ — зона прибытия,
• $|x — y|$ — разница номеров зон.

Разбор формулы:

Стоимость билета зависит от разницы номеров зон $|x — y|$, которая может быть равна числам от 0 до 9. Таким образом, для каждой пары зон отправления и прибытия возможны различные значения $|x — y|$. Рассмотрим возможные значения стоимости:

• Если $|x — y| = 0$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 0 = 7$ руб.
• Если $|x — y| = 1$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 1 = 13$ руб.
• Если $|x — y| = 2$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 2 = 19$ руб.
• Если $|x — y| = 3$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 3 = 25$ руб.
• Если $|x — y| = 4$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 4 = 31$ руб.
• Если $|x — y| = 5$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 5 = 37$ руб.
• Если $|x — y| = 6$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 6 = 43$ руб.
• Если $|x — y| = 7$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 7 = 49$ руб.
• Если $|x — y| = 8$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 8 = 55$ руб.
• Если $|x — y| = 9$, то стоимость $S = 7 + 6 \times 9 = 61$ руб.

Таким образом, возможные значения стоимости билета $S$ — это числа: 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61. Это 10 различных значений.

Ответ: 10 различных стоимостей билетов.

в) Сколько различных типов билетов можно купить не более чем за 50 руб.?

Нам нужно найти количество билетов, стоимость которых не превышает 50 руб. Используем формулу:

$$S = 7 + 6 |x — y|$$

Для того чтобы $S \leq 50$, необходимо, чтобы:

$$7 + 6 |x — y| \leq 50$$

Преобразуем неравенство:

$$6 |x — y| \leq 43$$ $$|x — y| \leq \frac{43}{6} \approx 7.17$$

Так как $|x — y|$ — целое число, это означает, что $|x — y| \leq 7$.

Теперь рассматриваем возможные значения разности $|x — y|$ от 0 до 7. Это означает, что $|x — y|$ может быть равным 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, или 7. Для каждой из этих разностей существует множество вариантов зон отправления и прибытия.

• Когда $|x — y| = 0$, зоны отправления и прибытия совпадают. Таких билетов будет 10, потому что для каждой зоны отправления $x$ есть одна зона прибытия $y = x$.
• Когда $|x — y| = 1$, зоны $x$ и $y$ могут отличаться на 1. Таких билетов будет $2 \cdot 9 = 18$, так как можно выбрать зону отправления из 10, а зона прибытия будет на единицу ближе или дальше (зависит от границ).
• Когда $|x — y| = 2$, таких билетов будет $2 \cdot 8 = 16$.
• Когда $|x — y| = 3$, таких билетов будет $2 \cdot 7 = 14$.
• Когда $|x — y| = 4$, таких билетов будет $2 \cdot 6 = 12$.
• Когда $|x — y| = 5$, таких билетов будет $2 \cdot 5 = 10$.
• Когда $|x — y| = 6$, таких билетов будет $2 \cdot 4 = 8$.
• Когда $|x — y| = 7$, таких билетов будет $2 \cdot 3 = 6$.

Таким образом, количество билетов с $|x — y| \leq 7$ равно:

$$10 + 18 + 16 + 14 + 12 + 10 + 8 + 6 = 94$$

Ответ: 94 различных типов билетов можно купить за не более чем 50 руб.

г) Сколько существует различных типов билетов по цене, кратной 5 руб.?

Для того чтобы стоимость билета $S$ была кратной 5, она должна удовлетворять условию:

$$S = 7 + 6 |x — y| \equiv 0 \pmod{5}$$

Преобразуем это условие:

$$7 + 6 |x — y| \equiv 0 \pmod{5}$$

Так как $7 \equiv 2 \pmod{5}$, получаем:

$$2 + 6 |x — y| \equiv 0 \pmod{5}$$ $$6 |x — y| \equiv 3 \pmod{5}$$

Теперь заметим, что $6 \equiv 1 \pmod{5}$, и тогда условие упрощается до:

$$|x — y| \equiv 3 \pmod{5}$$

Следовательно, разность $|x — y|$ должна быть либо 3, либо 8, так как $3 \equiv 3 \pmod{5}$ и $8 \equiv 3 \pmod{5}$.

Теперь считаем количество билетов для каждой из этих разностей:

• Когда $|x — y| = 3$, таких билетов будет $2 \cdot 7 = 14$.
• Когда $|x — y| = 8$, таких билетов будет $2 \cdot 3 = 6$.

Итого, количество билетов с ценой, кратной 5 руб., равно:

$$14 + 6 = 18$$

Ответ: 18 различных типов билетов по цене, кратной 5 руб.

Итоговые ответы:

а) 100

б) 10

в) 94

г) 18