ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $C_{17}^2 = \frac{17!}{2! \cdot (17-2)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15!}{2 \cdot 15!} = 17 \cdot 8 = 136;$

б) $C_{100}^2 = \frac{100!}{2! \cdot (100-2)!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98!}{2 \cdot 98!} = 50 \cdot 99 = 4950;$

в) $C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{20}{2} = 10;$

г) $C_8^4$

а) $C_{17}^2 = \frac{17!}{2! \cdot (17-2)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15!}{2 \cdot 15!} = 17 \cdot 8 = 136;$

б) $C_{100}^2 = \frac{100!}{2! \cdot (100-2)!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98!}{2 \cdot 98!} = 50 \cdot 99 = 4950;$

в) $C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{20}{2} = 10;$

г) $C_8^4 = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4!} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5}{2} = 7 \cdot 2 \cdot 5 = 70.$

а) $C_{17}^2$

Это выражение представляет собой число сочетаний из 17 элементов по 2. Формула для числа сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

В нашем случае $n = 17$ и $k = 2$. Подставим в формулу:

$$C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2! \cdot 15!}$$

Теперь, используя факт, что $17! = 17 \cdot 16 \cdot 15!$, подставим это в выражение:

$$C_{17}^2 = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15!}{2! \cdot 15!}$$

Здесь $15!$ в числителе и знаменателе сокращаются, так как они одинаковые:

$$C_{17}^2 = \frac{17 \cdot 16}{2!}$$

Так как $2! = 2$, получаем:

$$C_{17}^2 = \frac{17 \cdot 16}{2} = \frac{272}{2} = 136$$

Ответ: $C_{17}^2 = 136$

б) $C_{100}^2$

Здесь мы вычисляем число сочетаний из 100 элементов по 2. Используем ту же формулу:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Для $n = 100$ и $k = 2$:

$$C_{100}^2 = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100!}{2! \cdot 98!}$$

Как и в предыдущем примере, разложим факториал:

$$100! = 100 \cdot 99 \cdot 98!$$

Теперь подставляем это в выражение:

$$C_{100}^2 = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98!}{2! \cdot 98!}$$

Сокращаем $98!$ в числителе и знаменателе:

$$C_{100}^2 = \frac{100 \cdot 99}{2!}$$

Так как $2! = 2$, получаем:

$$C_{100}^2 = \frac{100 \cdot 99}{2} = \frac{9900}{2} = 4950$$

Ответ: $C_{100}^2 = 4950$

в) $C_5^3$

Это выражение представляет собой число сочетаний из 5 элементов по 3. Подставляем в формулу:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Для $n = 5$ и $k = 3$:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}$$

Раскроем факториалы:

$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$ $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$ $$2! = 2 \cdot 1 = 2$$

Подставим значения в формулу:

$$C_5^3 = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10$$

Ответ: $C_5^3 = 10$

г) $C_8^4$

Для этого примера мы считаем число сочетаний из 8 элементов по 4. Подставляем в формулу:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Для $n = 8$ и $k = 4$:

$$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}$$

Раскроем факториалы:

$$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320$$ $$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Теперь подставим значения в формулу:

$$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4!}$$

Так как $4!$ в числителе и знаменателе одинаковые, они сокращаются:

$$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4!}$$

Теперь вычислим оставшееся:

$$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24}$$

Выполняем умножение в числителе:

$$8 \cdot 7 = 56$$ $$56 \cdot 6 = 336$$ $$336 \cdot 5 = 1680$$

Теперь делим на $24$:

$$C_8^4 = \frac{1680}{24} = 70$$

Ответ: $C_8^4 = 70$

Итак, ответы на все задачи:

а) $C_{17}^2 = 136$
б) $C_{100}^2 = 4950$
в) $C_5^3 = 10$
г) $C_8^4 = 70$