ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_{n}^{n-2}} = \left( n! \cdot \frac{(n+1)!}{3! \cdot (n+1-3)!} \right) : \frac{n!}{(n-n+2)!} =$

б) $\frac{P_{n+1}\cdot C_n^{n-2}}{A_n^{n+1}}$

а) $\frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_{n}^{n-2}} = \left( n! \cdot \frac{(n+1)!}{3! \cdot (n+1-3)!} \right) : \frac{n!}{(n-n+2)!} =$

$= \frac{n! \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)(n-2)!}{3! \cdot (n-2)!} \cdot \frac{2!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot 2!}{3 \cdot 2!} = \frac{n(n-1)^2}{3}$;

б) $\frac{P_{n+1} \cdot C_{n}^{n-2}}{A_{n}^{n+1}} = \left( (n+1)! \cdot \frac{n!}{(n-2)! \cdot (n-n+2)!} \right) : \frac{(n+1)!}{(n+1-1)!} =$

$= \frac{(n+1)! \cdot n \cdot (n-1)(n-2)!}{(n-2)! \cdot 2!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

а)

$$\frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_n^{n-2}} = \left( n! \cdot \frac{(n+1)!}{3! \cdot (n+1-3)!} \right) : \frac{n!}{(n-n+2)!}$$

Рассмотрим первый множитель: $P_n$.
Это просто факториал $n$, то есть:

$$P_n = n!$$

Рассмотрим второй множитель: $C_{n+1}^3$.
Это биномиальный коэффициент, выражающийся как:

$$C_{n+1}^3 = \frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!} = \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$$

Таким образом, $C_{n+1}^3$ является биномиальным коэффициентом, который мы подставляем в исходное выражение.

Рассмотрим третий множитель: $A_n^{n-2}$.
Этот множитель выражен через факториал $n$ с вычитанием. Мы можем его записать как:

$$A_n^{n-2} = \frac{n!}{(n-n+2)!} = \frac{n!}{2!}$$

Теперь подставим все выражения в исходную формулу:

$$\frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_n^{n-2}} = \frac{n! \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}}{\frac{n!}{2!}}$$

Упростим выражение.
Переходим к числителю и знаменателю. В числителе у нас выражение:

$$n! \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} = \frac{n! \cdot (n+1)!}{3!(n-2)!}$$

В знаменателе:

$$\frac{n!}{2!}$$

Теперь подставим это в основное выражение:

$$\frac{\frac{n! \cdot (n+1)!}{3!(n-2)!}}{\frac{n!}{2!}} = \frac{n! \cdot (n+1)!}{3!(n-2)!} \cdot \frac{2!}{n!}$$

Упростим дроби.
Обратите внимание, что $n!$ в числителе и знаменателе сокращаются. Осталось:

$$= \frac{(n+1)! \cdot 2!}{3! \cdot (n-2)!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)(n-2)! \cdot 2!}{3! \cdot (n-2)!}$$

Теперь мы видим, что $(n-2)!$ сокращаются:

$$= \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot 2!}{3!}$$

Упростим числитель и знаменатель.
$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, а $2! = 2$, поэтому:

$$= \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot 2}{6} = \frac{n \cdot (n-1)^2}{3}$$

Это и есть окончательная форма для части (а).

б)

$$\frac{P_{n+1} \cdot C_n^{n-2}}{A_n^{n+1}} = \left( (n+1)! \cdot \frac{n!}{(n-2)! \cdot (n-n+2)!} \right) : \frac{(n+1)!}{(n+1-1)!}$$

Рассмотрим первый множитель: $P_{n+1}$.
Это просто факториал $n+1$, то есть:

$$P_{n+1} = (n+1)!$$

Рассмотрим второй множитель: $C_n^{n-2}$.
Это также биномиальный коэффициент:

$$C_n^{n-2} = \frac{n!}{(n-2)! \cdot (n-n+2)!} = \frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}$$

Рассмотрим третий множитель: $A_n^{n+1}$.
Запишем:

$$A_n^{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1-1)!} = \frac{(n+1)!}{n!}$$

Теперь подставим все выражения в исходную формулу:

$$\frac{P_{n+1} \cdot C_n^{n-2}}{A_n^{n+1}} = \frac{(n+1)! \cdot \frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}}{\frac{(n+1)!}{n!}}$$

Упростим выражение.
У нас снова есть множители, которые можно сократить. Сначала сократим $(n+1)!$:

$$= \frac{n! \cdot n!}{(n-2)! \cdot 2! \cdot n!}$$

Осталось:

$$= \frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}$$

Это можно упростить ещё дальше, заметив, что $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$, и тогда:

$$= \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)! \cdot 2!}$$

Сокращаем $(n-2)!$:

$$= \frac{n \cdot (n-1)}{2!}$$

Упростим числитель и знаменатель.
Поскольку $2! = 2$, получаем:

$$= \frac{n \cdot (n-1)}{2}$$

Итог:

а)

$$\frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_n^{n-2}} = \frac{n(n-1)^2}{3}$$

б)

$$\frac{P_{n+1} \cdot C_n^{n-2}}{A_n^{n+1}} = \frac{n(n-1)}{2}$$