ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составив частное двух чисел, выясните, какое из них больше:

а) $C_{17}^3$ или $C_{18}^4$;

б) $C_{18}^4$ или $C_{19}^5$;

в) $C_{19}^5$ или $C_{18}^6$;

г) $C_n^7$ или $C_{n+1}^8$

а) $C_{17}^3$ или $C_{18}^4$;

$$\frac{C_{17}^3}{C_{18}^4} = \frac{17!}{3! \cdot (17-3)!} : \frac{18!}{4! \cdot (18-4)!} = \frac{17!}{3! \cdot 14!} \cdot \frac{4! \cdot 14!}{18!} = \frac{17! \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 18 \cdot 17!} = \frac{4}{18} < 1;$$

Ответ: $C_{17}^3 < C_{18}^4$.

б) $C_{18}^4$ или $C_{19}^5$;

$$\frac{C_{18}^4}{C_{19}^5} = \frac{18!}{4! \cdot (18-4)!} : \frac{19!}{5! \cdot (19-5)!} = \frac{18!}{4! \cdot 14!} \cdot \frac{5! \cdot 14!}{19!} = \frac{18! \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 19 \cdot 18!} = \frac{5}{19} < 1;$$

Ответ: $C_{18}^4 < C_{19}^5$.

в) $C_{19}^5$ или $C_{18}^6$;

$$\frac{C_{19}^5}{C_{18}^6} = \frac{19!}{5! \cdot (19-5)!} : \frac{18!}{6! \cdot (18-6)!} = \frac{19!}{5! \cdot 14!} \cdot \frac{6! \cdot 12!}{18!} = \frac{19! \cdot 6 \cdot 5! \cdot 12!}{5! \cdot 14! \cdot 13 \cdot 12! \cdot 18!} =$$ $$= \frac{19 \cdot 6}{14 \cdot 13} = \frac{114}{182} < 1;$$

Ответ: $C_{19}^5 < C_{18}^6$.

г) $C_n^7$ или $C_{n+1}^8$;

$$\frac{C_n^7}{C_{n+1}^8} = \frac{n!}{7! \cdot (n-7)!} : \frac{(n+1)!}{8! \cdot (n+1-8)!} = \frac{n!}{7! \cdot (n-7)!} \cdot \frac{8! \cdot (n-7)!}{(n+1)!} =$$ $$= \frac{n! \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot (n+1) \cdot n!} = \frac{8}{n+1};$$

$$\frac{8}{n+1} < 1 \quad \Rightarrow \quad 8 < n+1, \text{отсюда } n > 7;$$

$$\frac{8}{n+1} > 1 \quad \Rightarrow \quad 8 > n+1, \text{отсюда } n < 7 — \text{не подходит};$$

Ответ: $C_n^7 < C_{n+1}^8$ при $n > 7$; $C_n^7 = C_{n+1}^8$ при $n = 7$.

а) $C_{17}^3$ или $C_{18}^4$

Задание: Сравните $C_{17}^3$ и $C_{18}^4$.

Биномиальный коэффициент $C_n^k$ определяется как:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Теперь сравним $C_{17}^3$ и $C_{18}^4$. Для этого воспользуемся выражением для биномиальных коэффициентов и выведем отношение этих двух коэффициентов.

$$\frac{C_{17}^3}{C_{18}^4} = \frac{\frac{17!}{3! \cdot (17-3)!}}{\frac{18!}{4! \cdot (18-4)!}} = \frac{17!}{3! \cdot 14!} \div \frac{18!}{4! \cdot 14!}$$

Шаг 1: Упростим дробь.

$$\frac{C_{17}^3}{C_{18}^4} = \frac{17!}{3! \cdot 14!} \cdot \frac{4! \cdot 14!}{18!}$$

Шаг 2: Сократим $14!$ в числителе и знаменателе.

$$\frac{C_{17}^3}{C_{18}^4} = \frac{17! \cdot 4!}{3! \cdot 18!}$$

Шаг 3: Разделим факториалы 17 и 18.

$$\frac{C_{17}^3}{C_{18}^4} = \frac{17! \cdot 4!}{3! \cdot 18 \cdot 17!} = \frac{4!}{3! \cdot 18}$$

Шаг 4: Упростим факториалы $4!$ и $3!$.

$$\frac{C_{17}^3}{C_{18}^4} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 18} = \frac{4}{18}$$

Шаг 5: Упростим дробь.

$$\frac{C_{17}^3}{C_{18}^4} = \frac{2}{9} < 1$$

Таким образом, $C_{17}^3 < C_{18}^4$, и это можно записать как:

Ответ: $C_{17}^3 < C_{18}^4$.

б) $C_{18}^4$ или $C_{19}^5$

Задание: Сравните $C_{18}^4$ и $C_{19}^5$.

Теперь применим аналогичный метод для биномиальных коэффициентов $C_{18}^4$ и $C_{19}^5$.

$$\frac{C_{18}^4}{C_{19}^5} = \frac{\frac{18!}{4! \cdot (18-4)!}}{\frac{19!}{5! \cdot (19-5)!}} = \frac{18!}{4! \cdot 14!} \div \frac{19!}{5! \cdot 14!}$$

Шаг 1: Упростим дробь.

$$\frac{C_{18}^4}{C_{19}^5} = \frac{18!}{4! \cdot 14!} \cdot \frac{5! \cdot 14!}{19!}$$

Шаг 2: Сократим $14!$ в числителе и знаменателе.

$$\frac{C_{18}^4}{C_{19}^5} = \frac{18! \cdot 5!}{4! \cdot 19!}$$

Шаг 3: Разделим факториалы 18 и 19.

$$\frac{C_{18}^4}{C_{19}^5} = \frac{18! \cdot 5!}{4! \cdot 19 \cdot 18!} = \frac{5!}{4! \cdot 19}$$

Шаг 4: Упростим факториалы $5!$ и $4!$.

$$\frac{C_{18}^4}{C_{19}^5} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 19} = \frac{5}{19}$$

Шаг 5: Упростим дробь.

$$\frac{C_{18}^4}{C_{19}^5} = \frac{5}{19} < 1$$

Таким образом, $C_{18}^4 < C_{19}^5$, и это можно записать как:

Ответ: $C_{18}^4 < C_{19}^5$.

в) $C_{19}^5$ или $C_{18}^6$

Задание: Сравните $C_{19}^5$ и $C_{18}^6$.

Используем аналогичный метод для биномиальных коэффициентов $C_{19}^5$ и $C_{18}^6$.

$$\frac{C_{19}^5}{C_{18}^6} = \frac{\frac{19!}{5! \cdot (19-5)!}}{\frac{18!}{6! \cdot (18-6)!}} = \frac{19!}{5! \cdot 14!} \div \frac{18!}{6! \cdot 12!}$$

Шаг 1: Упростим дробь.

$$\frac{C_{19}^5}{C_{18}^6} = \frac{19!}{5! \cdot 14!} \cdot \frac{6! \cdot 12!}{18!}$$

Шаг 2: Сократим $12!$ и $14!$.

$$\frac{C_{19}^5}{C_{18}^6} = \frac{19! \cdot 6!}{5! \cdot 18! \cdot 14!} = \frac{19! \cdot 6!}{5! \cdot 18!}$$

Шаг 3: Разделим факториалы 19 и 18.

$$\frac{C_{19}^5}{C_{18}^6} = \frac{19 \cdot 6!}{5! \cdot 18!}$$

Шаг 4: Упростим факториалы $6!$ и $5!$.

$$\frac{C_{19}^5}{C_{18}^6} = \frac{19 \cdot 6}{14 \cdot 13} = \frac{114}{182}$$

Шаг 5: Упростим дробь.

$$\frac{C_{19}^5}{C_{18}^6} = \frac{114}{182} = \frac{57}{91} < 1$$

Таким образом, $C_{19}^5 < C_{18}^6$, и это можно записать как:

Ответ: $C_{19}^5 < C_{18}^6$.

г) $C_n^7$ или $C_{n+1}^8$

Задание: Сравните $C_n^7$ и $C_{n+1}^8$.

Теперь сравним $C_n^7$ и $C_{n+1}^8$. Мы рассмотрим это в общем виде для произвольного $n$.

$$\frac{C_n^7}{C_{n+1}^8} = \frac{\frac{n!}{7! \cdot (n-7)!}}{\frac{(n+1)!}{8! \cdot (n+1-8)!}} = \frac{n!}{7! \cdot (n-7)!} \div \frac{(n+1)!}{8! \cdot (n-7)!}$$

Шаг 1: Упростим дробь.

$$\frac{C_n^7}{C_{n+1}^8} = \frac{n!}{7! \cdot (n-7)!} \cdot \frac{8! \cdot (n-7)!}{(n+1)!}$$

Шаг 2: Сократим $(n-7)!$ в числителе и знаменателе.

$$\frac{C_n^7}{C_{n+1}^8} = \frac{n! \cdot 8!}{7! \cdot (n+1)!}$$

Шаг 3: Разделим факториалы $n!$ и $(n+1)!$.

$$\frac{C_n^7}{C_{n+1}^8} = \frac{n! \cdot 8!}{7! \cdot (n+1) \cdot n!} = \frac{8!}{7! \cdot (n+1)}$$

Шаг 4: Упростим факториалы $8!$ и $7!$.

$$\frac{C_n^7}{C_{n+1}^8} = \frac{8}{n+1}$$

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если $\frac{8}{n+1} < 1$, то $8 < n+1$, откуда $n > 7$.
2. Если $\frac{8}{n+1} > 1$, то $8 > n+1$, откуда $n < 7$ — этот случай не подходит, так как $n$ должно быть больше 7.

Ответ: $C_n^7 < C_{n+1}^8$ при $n > 7$, а $C_n^7 = C_{n+1}^8$ при $n = 7$.