ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что оно:

a) делится на 5;

б) делится на 13;

в) делится или на 15, или на 25;

г) не делится на 29.

Выбирают случайное двузначное натуральное число;

Всего таких чисел: $N=99-10+1=90$;

а) Вероятность, что это число делится на 5:

$N(A)=\frac{90}{5}=18;$

$P=\frac{N(A)}{N}=\frac{18}{90}=\frac{2}{10}=0,2;$

б) Вероятность, что это число делится на 13:

$N(A)=\{13;26;39;52;65;78;91\}=7;$

$P=\frac{N(A)}{N}=\frac{7}{90}=0,077;$

в) Вероятность, что это число делится на 15 или на 25:

$N_1=\frac{90}{15}=6\text{ — чисел, кратных }15;$

$N_2=\{25;50;75\}=3\text{ — числа, кратные }25;$

$N_3=\{75\}=1\text{ — число исключается; }$

$N(A)=N_1+N_2-N_3=6+3-1=8;$

$P=\frac{N(A)}{N}=\frac{8}{90}=0,088;$

г) Вероятность, что это число не делится на 29:

$N_1=\{29;58;87\}=3\text{ — числа, кратные }29;$

$N(A)=N-N_1=90-3=87;$

$P=\frac{N(A)}{N}=\frac{87}{90}=0,966;$

Ответ: а) 0,2; б) 0,077; в) 0,088; г) 0,966.

Общее количество двузначных чисел

Сначала определим общее количество двузначных натуральных чисел. Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99 включительно. То есть, общее количество двузначных чисел:

$$N=99-10+1=90$$

a) Вероятность, что число делится на 5

Чтобы найти вероятность того, что выбранное число делится на 5, нам нужно определить, сколько таких чисел существует среди всех двузначных чисел.

Шаг 1: Найдем все двузначные числа, делящиеся на 5.

Двузначные числа, которые делятся на 5, — это числа, которые заканчиваются на 0 или 5. Рассмотрим такие числа:

• Числа, заканчивающиеся на 0: $10,20,30,\dots ,90$.
• Числа, заканчивающиеся на 5: $15,25,35,\dots ,95$.

Это последовательности с шагом 10. Числа от 10 до 90, которые делятся на 5, образуют следующие два ряда:

• $10,20,30,40,50,60,70,80,90$ — всего 9 чисел.
• $15,25,35,45,55,65,75,85,95$ — также 9 чисел.

Таким образом, всего таких чисел:

$$N(A)=9+9=18$$

Шаг 2: Найдем вероятность.

Теперь, чтобы найти вероятность того, что число делится на 5, делим количество подходящих чисел на общее количество чисел:

$$P(A)=\frac{N(A)}{N}=\frac{18}{90}=0,2$$

Ответ для a): $P(A)=0,2$.

б) Вероятность, что число делится на 13

Теперь найдем вероятность того, что выбранное число делится на 13.

Шаг 1: Найдем все двузначные числа, делящиеся на 13.

Двузначные числа, делящиеся на 13, это числа, которые можно выразить как $13k$, где $k$ — целое число. Найдем такие значения $k$, при которых $13k$ — двузначное число, то есть:

$$10\le 13k\le 99$$

Разделим неравенство на 13:

$$\frac{10}{13}\le k\le \frac{99}{13}$$

Приближенно:

$$0,77\le k\le 7,615$$

Таким образом, $k$ может быть любым из чисел $1,2,3,4,5,6,7$. Посмотрим на числа, полученные умножением 13 на эти значения:

$$13\times 1=13,13\times 2=26,13\times 3=39,13\times 4=52,$$

$$13\times 5=65,13\times 6=78,13\times 7=91$$

Итак, числа, делящиеся на 13: $13,26,39,52,65,78,91$ — всего 7 чисел.

Шаг 2: Найдем вероятность.

Теперь, чтобы найти вероятность того, что число делится на 13, делим количество таких чисел на общее количество чисел:

$$P(B)=\frac{N(B)}{N}=\frac{7}{90}\approx 0,077$$

Ответ для б): $P(B)\approx 0,077$.

в) Вероятность, что число делится или на 15, или на 25

Задача состоит в нахождении вероятности того, что число делится либо на 15, либо на 25. Мы будем использовать принцип включений-исключений.

Шаг 1: Найдем все двузначные числа, делящиеся на 15.

Числа, делящиеся на 15, это числа вида $15k$, где $k$ — целое число. Мы находим такие значения $k$, при которых $15k$ — двузначное число:

$$10\le 15k\le 99$$

Разделим неравенство на 15:

$$\frac{10}{15}\le k\le \frac{99}{15}$$

Приближенно:

$$0,67\le k\le 6,6$$

Таким образом, $k$ может быть любым из чисел $1,2,3,4,5,6$. Посмотрим на числа, делящиеся на 15:

$$15\times 1=15,15\times 2=30,15\times 3=45,$$

$$15\times 4=60,15\times 5=75,15\times 6=90$$

Итак, числа, делящиеся на 15: $15,30,45,60,75,90$ — всего 6 чисел.

Шаг 2: Найдем все двузначные числа, делящиеся на 25.

Теперь находим числа, делящиеся на 25. Числа, делящиеся на 25, — это числа вида $25k$, где $k$ — целое число. Рассмотрим такие значения $k$, при которых $25k$ — двузначное число:

$$10\le 25k\le 99$$

Разделим неравенство на 25:

$$\frac{10}{25}\le k\le \frac{99}{25}$$

Приближенно:

$$0,4\le k\le 3,96$$

Таким образом, $k$ может быть любым из чисел $1,2,3$. Посмотрим на числа, делящиеся на 25:

$$25\times 1=25,25\times 2=50,25\times 3=75$$

Итак, числа, делящиеся на 25: $25,50,75$ — всего 3 числа.

Шаг 3: Найдем пересечение чисел, делящихся на 15 и на 25.

Числа, которые делятся и на 15, и на 25, должны делиться на их наименьшее общее кратное, то есть на 75. Среди двузначных чисел есть только одно число, которое делится на 75: $75$.

Шаг 4: Применим принцип включений-исключений.

Используя принцип включений-исключений, находим количество чисел, делящихся либо на 15, либо на 25:

$$N(C)=N(\text{числа, делящиеся на 15})+N(\text{числа, делящиеся на 25})-$$

$$-N(\text{числа, делящиеся на 75})$$

$$N(C)=6+3-1=8$$

Шаг 5: Найдем вероятность.

Теперь находим вероятность:

$$P(C)=\frac{N(C)}{N}=\frac{8}{90}\approx 0,088$$

Ответ для в): $P(C)\approx 0,088$.

г) Вероятность, что число не делится на 29

Шаг 1: Найдем все двузначные числа, делящиеся на 29.

Числа, делящиеся на 29, имеют вид $29k$, где $k$ — целое число. Рассмотрим такие значения $k$, при которых $29k$ — двузначное число:

$$10\le 29k\le 99$$

Разделим неравенство на 29:

$$\frac{10}{29}\le k\le \frac{99}{29}$$

Приближенно:

$$0,34\le k\le 3,41$$

Таким образом, $k$ может быть любым из чисел $1,2,3$. Посмотрим на числа, делящиеся на 29:

$$29\times 1=29,29\times 2=58,29\times 3=87$$

Итак, числа, делящиеся на 29: $29,58,87$ — всего 3 числа.

Шаг 2: Найдем количество чисел, которые не делятся на 29.

Чтобы найти количество чисел, которые не делятся на 29, вычитаем количество чисел, делящихся на 29, из общего числа двузначных чисел:

$$N(D)=N-N_1=90-3=87$$

Шаг 3: Найдем вероятность.

Теперь находим вероятность того, что число не делится на 29:

$$P(D)=\frac{N(D)}{N}=\frac{87}{90}\approx 0,966$$

Ответ для г): $P(D)\approx 0,966$.

Итоговые ответы:

а) $P(A)=0,2$

б) $P(B)\approx 0,077$

в) $P(C)\approx 0,088$

г) $P(D)\approx 0,966$