ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил.

a) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником?

б) Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником?

в) Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником?

г) Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах a) и б) были одинаковы.

Первый ученик решил $N(A) = 44$ задач, а второй $N(B) = 26$ задач;
Всего в списке $N(A \cup B) = 50$ задач, каждую из них кто-то решил;

а) Количество задач, которые были решены обоими учениками:
$N(A \cap B) = N(A) + N(B) — N(A \cup B) = 44 + 26 — 50 = 20;$

б) Количество задач, которые были решены только первым учеником:
$A = N(A) — N(A \cap B) = 44 — 20 = 24;$

в) Количество задач, которые были решены только вторым учеником:
$B = N(B) — N(A \cap B) = 26 — 20 = 6;$

г) Если ответы в пунктах а) и б) будут одинаковы:
$N(A) — N(A \cap B) = N(A \cap B);$
$N(A \cap B) = N(A) : 2 = 44 : 2 = 22;$
$N(A \cup B) = N(A) + N(B) — N(A \cap B) = 44 + 26 — 22 = 48;$

Ответ: а) 20; б) 24; в) 6; г) 48.

Условие задачи:

• Первый ученик решил $N(A) = 44$ задачи.
• Второй ученик решил $N(B) = 26$ задачи.
• Общее количество задач $N(A \cup B) = 50$, то есть, всего в списке 50 задач, и каждая из этих задач была решена хотя бы одним из учеников.

Задача состоит в том, чтобы определить:

• Сколько задач решены обоими учениками.
• Сколько задач решены только первым учеником.
• Сколько задач решены только вторым учеником.
• Какое должно быть общее количество задач, чтобы количество решенных задач, которые совпадают, и количество решенных только первым учеником стали одинаковыми.

Обозначения и объяснение:

• $N(A)$ — количество задач, решенных первым учеником.
• $N(B)$ — количество задач, решенных вторым учеником.
• $N(A \cup B)$ — общее количество задач, решенных хотя бы одним из учеников.
• $N(A \cap B)$ — количество задач, решенных и первым, и вторым учеником.

Нам нужно найти:

1. $N(A \cap B)$ — количество задач, решенных обоими учениками.
2. $A = N(A) — N(A \cap B)$ — количество задач, решенных только первым учеником.
3. $B = N(B) — N(A \cap B)$ — количество задач, решенных только вторым учеником.

a) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником?

Из формулы для объединения двух множеств, количество элементов в объединении $A \cup B$ (то есть количество задач, решенных хотя бы одним учеником) выражается как:

$$N(A \cup B) = N(A) + N(B) — N(A \cap B)$$

Поскольку нам известно $N(A \cup B) = 50$, $N(A) = 44$, и $N(B) = 26$, мы можем подставить эти значения в уравнение и решить для $N(A \cap B)$:

$$50 = 44 + 26 — N(A \cap B)$$ $$50 = 70 — N(A \cap B)$$ $$N(A \cap B) = 70 — 50 = 20$$

Таким образом, 20 задач были решены обоими учениками.

б) Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником?

Чтобы найти количество задач, решенных только первым учеником, нам нужно вычесть из общего числа решенных первым учеником $N(A)$ количество задач, которые были решены обоими учениками $N(A \cap B)$:

$$A = N(A) — N(A \cap B) = 44 — 20 = 24$$

Таким образом, 24 задачи были решены только первым учеником.

в) Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником?

Аналогично, чтобы найти количество задач, решенных только вторым учеником, нужно вычесть из общего числа решенных вторым учеником $N(B)$ количество задач, которые были решены обоими учениками $N(A \cap B)$:

$$B = N(B) — N(A \cap B) = 26 — 20 = 6$$

Таким образом, 6 задач были решены только вторым учеником.

г) Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах a) и б) были одинаковы.

В пункте а) мы нашли, что количество задач, решенных обоими учениками, равно 20. В пункте б) мы нашли, что количество задач, решенных только первым учеником, равно 24.

Нам нужно изменить общее количество задач $N(A \cup B)$, чтобы количество задач, решенных обоими учениками, стало равно количеству задач, решенных только первым учеником. То есть, нам нужно, чтобы $N(A \cap B) = N(A) — N(A \cap B)$, то есть:

$$N(A \cap B) = N(A) : 2 = 44 : 2 = 22$$

Теперь вычислим новое значение $N(A \cup B)$, учитывая, что $N(A \cap B) = 22$:

$$N(A \cup B) = N(A) + N(B) — N(A \cap B) = 44 + 26 — 22 = 48$$

Таким образом, если общее количество задач будет равно 48, то количество задач, решенных обоими учениками, и количество задач, решенных только первым учеником, будут одинаковыми.

Ответы:

а) 20 задач были решены обоими учениками.

б) 24 задачи были решены только первым учеником.

в) 6 задач были решены только вторым учеником.

г) Если общее количество задач будет равно 48, то ответы в пунктах а) и б) будут одинаковыми.