ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета. Найдите вероятность того, что:

a) все билеты выигрышные;

б) есть ровно один проигрышный билет;

в) есть ровно два выигрышных билета;

г) есть хотя бы один выигрышный билет.

В ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных;

Случайно вытягивают три билета;

Всего билетов: $N = 5 + 4 = 9$;

а) Вероятность, что все билеты выигрышные:

$$P = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{5}{3 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{5}{42} = 0,119;$$

б) Вероятность, что есть ровно один проигрышный билет:

$$C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 6!} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84;$$ $$C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 5 \cdot 2 = 10;$$ $$C_4^1 = \frac{4!}{1! \cdot (4-1)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4;$$ $$P = \frac{C_5^2 \cdot C_4^1}{C_9^3} = \frac{10 \cdot 4}{84} = \frac{40}{84} = 0,476;$$

в) Вероятность, что есть ровно два выигрышных билета:

$$C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 6!} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84;$$ $$C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 5 \cdot 2 = 10;$$ $$C_4^1 = \frac{4!}{1! \cdot (4-1)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4;$$ $$P = \frac{C_5^2 \cdot C_4^1}{C_9^3} = \frac{10 \cdot 4}{84} = \frac{40}{84} = 0,476;$$

г) Вероятность, что есть хотя бы один выигрышный билет:

$$\overline{P} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1}{3 \cdot 7} = \frac{1}{21};$$ $$P = 1 — \overline{P} = \frac{21}{21} — \frac{1}{21} = \frac{20}{21} = 0,952;$$

Ответ: а) 0,119; б) 0,476; в) 0,476; г) 0,952.

В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Мы случайным образом вытаскиваем 3 билета. Необходимо найти вероятность для нескольких случаев:

• а) Все билеты выигрышные;
• б) Есть ровно один проигрышный билет;
• в) Есть ровно два выигрышных билета;
• г) Есть хотя бы один выигрышный билет.

Общее количество билетов

Общее количество билетов в ящике:

$$N = 5 + 4 = 9$$

Стратегия решения задачи

Для каждого случая будем использовать формулу для вычисления вероятности:

$$P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}}$$

Где:

• Число благоприятных исходов — это количество способов, которым могут быть выбраны билеты, удовлетворяющие условиям задачи.
• Общее число исходов — это количество способов выбрать 3 билета из 9.

Количество способов выбрать 3 билета из 9 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

$$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$$

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) Вероятность, что все билеты выигрышные

Для того чтобы все три билета были выигрышными, нужно выбрать 3 билета из 5 выигрышных. Количество таких способов равно сочетанию из 5 по 3:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$

Теперь вероятность того, что все три билета будут выигрышными:

$$P(\text{все выигрышные}) = \frac{C_5^3}{C_9^3} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42} \approx 0,119$$

б) Вероятность, что есть ровно один проигрышный билет

Для того чтобы среди 3 выбранных билетов был ровно один проигрышный, мы должны выбрать 1 проигрышный билет из 4, а 2 выигрышных билета из 5. Количество таких способов:

$$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$$ $$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$

Общее число благоприятных исходов — это произведение этих двух сочетаний:

$$\text{Число благоприятных исходов} = C_4^1 \cdot C_5^2 = 4 \cdot 10 = 40$$

Теперь вероятность того, что среди 3 выбранных билетов будет ровно один проигрышный:

$$P(\text{1 проигрышный}) = \frac{40}{84} = \frac{10}{21} \approx 0,476$$

в) Вероятность, что есть ровно два выигрышных билета

Для того чтобы среди 3 выбранных билетов было ровно два выигрышных, мы должны выбрать 2 выигрышных билета из 5, а 1 проигрышный билет из 4. Количество таких способов:

$$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$ $$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$$

Общее число благоприятных исходов — это произведение этих двух сочетаний:

$$\text{Число благоприятных исходов} = C_5^2 \cdot C_4^1 = 10 \cdot 4 = 40$$

Теперь вероятность того, что среди 3 выбранных билетов будет ровно два выигрышных:

$$P(\text{2 выигрышных}) = \frac{40}{84} = \frac{10}{21} \approx 0,476$$

г) Вероятность, что есть хотя бы один выигрышный билет

Для вычисления вероятности того, что среди 3 выбранных билетов будет хотя бы один выигрышный, проще воспользоваться дополнением: найдем вероятность того, что все три билета будут проигрышными, и вычтем это из 1.

Количество способов выбрать 3 проигрышных билета из 4:

$$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{3! \cdot 1!} = 4$$

Теперь вероятность того, что все три билета будут проигрышными:

$$P(\text{все проигрышные}) = \frac{C_4^3}{C_9^3} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21} \approx 0,048$$

Теперь вероятность того, что среди 3 выбранных билетов будет хотя бы один выигрышный:

$$P(\text{хотя бы 1 выигрышный}) = 1 — P(\text{все проигрышные}) = 1 — \frac{1}{21} = \frac{20}{21} \approx 0,952$$

Ответы:

а) Вероятность, что все билеты выигрышные: $0,119$

б) Вероятность, что есть ровно один проигрышный билет: $0,476$

в) Вероятность, что есть ровно два выигрышных билета: $0,476$

г) Вероятность, что есть хотя бы один выигрышный билет: $0,952$