ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В тёмном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно $n$ билетов, $n = 1, 2, 3, \ldots, 9$. Найдите вероятность $p(n)$ того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу.

В ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных;

Случайно вытягивают $n$ билетов, где $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$;

Всего билетов: $N = 5 + 4 = 9$;

1) Вероятность, что есть ровно один выигрышный билет:

$$P(n) = \frac{C_5^1 \cdot C_{4}^{n-1}}{C_9^n} = \frac{\frac{5!}{1! \cdot (5-1)!} \cdot \frac{4!}{(n-1)! \cdot (4-n+1)!}}{\frac{9!}{n! \cdot (9-n)!}} =$$ $$= \frac{5! \cdot 4!}{4! \cdot (n-1)! \cdot (5-n)!} \cdot \frac{n! \cdot (9-n)!}{9!} = \frac{5! \cdot n \cdot (n-1)! \cdot (9-n)!}{(n-1)! \cdot (5-n)! \cdot 9!} =$$ $$= \frac{5! \cdot n \cdot (9-n)!}{9! \cdot (5-n)!};$$

Выражение имеет смысл при $n \leq 5$;

2) Таблица результатов:

$$P(1) = \frac{5! \cdot 1 \cdot (9-1)!}{9! \cdot (5-1)!} = \frac{5! \cdot 8!}{9! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4! \cdot 8!}{9 \cdot 8! \cdot 4!} = \frac{5}{9};$$ $$P(2) = \frac{5! \cdot 2 \cdot (9-2)!}{9! \cdot (5-2)!} = \frac{5! \cdot 2 \cdot 7!}{9! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3! \cdot 2 \cdot 7!}{9 \cdot 8 \cdot 7! \cdot 3!} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9};$$ $$P(3) = \frac{5! \cdot 3 \cdot (9-3)!}{9! \cdot (5-3)!} = \frac{5! \cdot 3 \cdot 6!}{9! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6!}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6! \cdot 2} = \frac{180}{504} = \frac{5}{14};$$ $$P(4) = \frac{5! \cdot 4 \cdot (9-4)!}{9! \cdot (5-4)!} = \frac{5! \cdot 4 \cdot 5!}{9! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5!}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{480}{3024} = \frac{10}{63};$$ $$P(5) = \frac{5! \cdot 5 \cdot (9-5)!}{9! \cdot (5-5)!} = \frac{5! \cdot 5 \cdot 4!}{9! \cdot 0!} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{120}{3024} = \frac{5}{126}$$

Дано:

• В ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных.
• Необходимо случайным образом вытянуть $n$ билетов, где $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
• Всего билетов: $N = 9$.

Задача: найти вероятность того, что среди $n$ вытянутых билетов окажется ровно один выигрышный.

Шаг 1: Обозначения и формулы

Используем для решения задачу комбинаторику и формулы вероятности.

Вероятность того, что среди $n$ вытянутых билетов ровно один окажется выигрышным, вычисляется по формуле:

$$P(n) = \frac{C_5^1 \cdot C_4^{n-1}}{C_9^n}$$

где:

• $C_5^1$ — количество способов выбрать 1 выигрышный билет из 5,
• $C_4^{n-1}$ — количество способов выбрать $n-1$ проигрышных билетов из 4,
• $C_9^n$ — общее количество способов выбрать $n$ билетов из 9.

Комбинаторная формула для сочетаний:

$$C_k^m = \frac{k!}{m!(k — m)!}$$

где $k$ — общее количество элементов, $m$ — количество выбранных элементов.

Шаг 2: Подставим сочетания в формулу

Подставим выражения для сочетаний в исходную формулу для вероятности:

$$P(n) = \frac{\frac{5!}{1! \cdot (5 — 1)!} \cdot \frac{4!}{(n-1)! \cdot (4 — (n-1))!}}{\frac{9!}{n! \cdot (9 — n)!}}$$

Упростим это:

$$P(n) = \frac{5! \cdot 4!}{(n-1)! \cdot (4 — (n-1))!} \cdot \frac{n! \cdot (9-n)!}{9!}$$

Сократим факторы:

$$P(n) = \frac{5! \cdot n \cdot (n-1)! \cdot (9-n)!}{(n-1)! \cdot (5-n)! \cdot 9!}$$

Дальше упростим выражение, убирая факториалы $(n-1)!$ в числителе и знаменателе:

$$P(n) = \frac{5! \cdot n \cdot (9-n)!}{9! \cdot (5-n)!}$$

Шаг 3: Условия задачи

Выражение для вероятности имеет смысл, только если $n \leq 5$. Это связано с тем, что максимальное количество выигрышных билетов — 5, и если мы вытягиваем больше чем 5 билетов, то просто не можем получить ровно один выигрышный (поскольку выигрышных билетов больше нет).

Таким образом, вероятность для $n > 5$ равна нулю.

Шаг 4: Подставим значения для разных $n$

Теперь подставим различные значения $n$ от 1 до 5 и вычислим вероятность для каждого из них.

Для $n = 1$:

$$P(1) = \frac{5! \cdot 1 \cdot (9-1)!}{9! \cdot (5-1)!} = \frac{5! \cdot 8!}{9! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4! \cdot 8!}{9 \cdot 8! \cdot 4!} = \frac{5}{9}$$

Для $n = 2$:

$$P(2) = \frac{5! \cdot 2 \cdot (9-2)!}{9! \cdot (5-2)!} = \frac{5! \cdot 2 \cdot 7!}{9! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3! \cdot 2 \cdot 7!}{9 \cdot 8 \cdot 7! \cdot 3!} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}$$

Для $n = 3$:

$$P(3) = \frac{5! \cdot 3 \cdot (9-3)!}{9! \cdot (5-3)!} = \frac{5! \cdot 3 \cdot 6!}{9! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6!}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6! \cdot 2} = \frac{180}{504} = \frac{5}{14}$$

Для $n = 4$:

$$P(4) = \frac{5! \cdot 4 \cdot (9-4)!}{9! \cdot (5-4)!} = \frac{5! \cdot 4 \cdot 5!}{9! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5!}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{480}{3024} = \frac{10}{63}$$

Для $n = 5$:

$$P(5) = \frac{5! \cdot 5 \cdot (9-5)!}{9! \cdot (5-5)!} = \frac{5! \cdot 5 \cdot 4!}{9! \cdot 0!} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{120}{3024} = \frac{5}{126}$$

Шаг 5: Заполним таблицу

Итак, теперь мы можем заполнить таблицу значений вероятности для разных $n$.

Итог:

• Мы нашли вероятность того, что среди $n$ вытянутых билетов будет ровно один выигрышный, используя формулы для сочетаний и вероятности.
• Рассчитаны значения для $n = 1$ до $n = 5$, для $n > 5$ вероятность равна нулю, так как невозможно вытянуть больше 5 выигрышных билетов.