ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Случайным образом выбирают нечетное двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что:

a) его квадрат меньше 1000;

б) его квадрат больше 9000;

в) сумма квадратов его цифр больше 140;

г) сумма квадратов его цифр не больше 10.

Выбирают случайное нечетное двузначное натуральное число;

Всего таких чисел: $N = \frac{99 — 10 + 1}{2} = \frac{90}{2} = 45$;

а) Вероятность, что квадрат этого числа меньше 1000:

$n^2 < 1000$, отсюда $n < 31$;

$N(A) = \frac{31 — 10 + 1}{2} = \frac{22}{2} = 11$;

$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{11}{45} = 0,244$;

б) Вероятность, что квадрат этого числа больше 9000:

$n^2 \geqslant 9000$, отсюда $n > 95$;

$N(A) = \{95; 97; 99\} = 3$;

$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{3}{45} = 0,067$;

в) Вероятность, что сумма квадратов цифр этого числа больше 140:

$N(A) = \{99; 89\} = 2$;

$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{2}{45} = 0,044$;

г) Вероятность, что сумма квадратов цифр этого числа не больше 10:

$N(A) = \{11; 13; 21; 31\} = 4$;

$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{4}{45} = 0,088$;

Ответ: а) 0,244; б) 0,067; в) 0,044; г) 0,088.

Случайным образом выбирают нечетное двузначное натуральное число. Нам нужно найти вероятности для нескольких событий, связанных с этим числом.

Шаг 1. Общее количество нечетных двузначных чисел

Нечетные двузначные числа — это все числа от 11 до 99, которые делятся на 2 с остатком 1. То есть:

• Первое нечетное число — 11.
• Последнее нечетное число — 99.

Между ними есть 45 чисел, так как:

$$N = \frac{99 — 10 + 1}{2} = \frac{90}{2} = 45$$

То есть всего 45 таких чисел.

Шаг 2. Рассмотрим каждое событие по очереди

а) Вероятность того, что квадрат числа меньше 1000

Нужно найти такие числа $n$, для которых квадрат числа меньше 1000, то есть $n^2 < 1000$.

$$n^2 < 1000 \quad \Rightarrow \quad n < \sqrt{1000} \approx 31.62$$

Так как $n$ — это нечетное двузначное число, ограничиваемся числами, которые меньше 31.62. Наименьшее нечетное двузначное число — 11, а наибольшее — 29.

Пусть $n$ принимает значения: $11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29$.

Это 11 чисел. Следовательно, количество чисел, удовлетворяющих условию $n^2 < 1000$, равно 11.

Вероятность $P(A)$, что квадрат числа меньше 1000, равна:

$$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{11}{45} \approx 0,244$$

б) Вероятность того, что квадрат числа больше 9000

Нужно найти такие числа $n$, для которых квадрат числа больше 9000, то есть $n^2 > 9000$.

$$n^2 > 9000 \quad \Rightarrow \quad n > \sqrt{9000} \approx 94.87$$

Поскольку $n$ — это нечетное двузначное число, мы ищем наибольшие возможные такие числа. Это $n = 95, 97, 99$.

Тогда:

$$N(A) = \{95, 97, 99\}$$

Всего таких чисел 3. Вероятность $P(B)$, что квадрат числа больше 9000, равна:

$$P = \frac{N(B)}{N} = \frac{3}{45} = 0,067$$

в) Вероятность того, что сумма квадратов цифр числа больше 140

Рассмотрим, как вычислить сумму квадратов цифр для каждого нечетного двузначного числа. Сумма квадратов цифр числа $n = 10a + b$, где $a$ — это десятки, а $b$ — это единицы, будет:

$$S = a^2 + b^2$$

Теперь ищем такие числа $n$, для которых сумма квадратов цифр больше 140. Посмотрим на числа, у которых эта сумма превышает 140.

• Для $n = 99$: $a = 9, b = 9$, $S = 9^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162$.
• Для $n = 89$: $a = 8, b = 9$, $S = 8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$.

Это все такие числа, у которых сумма квадратов цифр больше 140.

Следовательно, $N(C) = \{99, 89\}$.

Вероятность $P(C)$, что сумма квадратов цифр числа больше 140, равна:

$$P = \frac{N(C)}{N} = \frac{2}{45} \approx 0,044$$

г) Вероятность того, что сумма квадратов цифр числа не больше 10

Теперь ищем такие числа $n$, для которых сумма квадратов цифр числа не больше 10. Будем вычислять сумму квадратов цифр для каждого числа и проверять, чтобы она была меньше или равна 10.

• Для $n = 11$: $S = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
• Для $n = 13$: $S = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
• Для $n = 21$: $S = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
• Для $n = 31$: $S = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$.

Эти числа удовлетворяют условию $S \leq 10$, их 4:

$$N(D) = \{11, 13, 21, 31\}$$

Вероятность $P(D)$, что сумма квадратов цифр числа не больше 10, равна:

$$P = \frac{N(D)}{N} = \frac{4}{45} \approx 0,088$$

Ответ:

а) Вероятность, что квадрат числа меньше 1000: $P = 0,244$

б) Вероятность, что квадрат числа больше 9000: $P = 0,067$

в) Вероятность, что сумма квадратов цифр больше 140: $P = 0,044$

г) Вероятность, что сумма квадратов цифр не больше 10: $P = 0,088$